對于絕大多數(shù)工程師來說，統(tǒng)計學(xué)是一門不太容易掌握的學(xué)科。在教科書上，統(tǒng)計學(xué)一般都是純數(shù)學(xué)理論，沒有將統(tǒng)計公式與實際工程案例結(jié)合起來，所以不太容易弄懂。在結(jié)構(gòu)疲勞分析中，其實并沒有太多的理論需要我們掌握，重要的是需要將一些觀念和統(tǒng)計概念結(jié)合起來。

我們來看一組數(shù)據(jù)：

表1 – 數(shù)據(jù)列表


這些數(shù)據(jù)有什么含義呢？如果將這些點連接起來，它們看起來像一段隨機(jī)數(shù)據(jù)（圖1- a）；如果我們看這段數(shù)據(jù)從頭到尾的趨勢變化，趨勢變化并不明顯（圖1 - b）；如果將這段數(shù)據(jù)的動態(tài)均值連起來，均值變化大約在50附近上下波動（圖1- c）。初步看上去，數(shù)據(jù)沒有多大的規(guī)律性。


圖1 – (a)原始數(shù)據(jù)，(b)趨勢分析，(c)動態(tài)均值分析

換一種方式，如果我們統(tǒng)計一下每個數(shù)據(jù)點在整個樣本中出現(xiàn)的頻次（如圖2），橫坐標(biāo)為數(shù)據(jù)大小區(qū)間，縱坐標(biāo)為測試數(shù)據(jù)在各區(qū)間出現(xiàn)的頻次，這些頻次接近一種近似的規(guī)律性。越接近均值的點的個數(shù)越多，越遠(yuǎn)離均值的點的個數(shù)越少。


圖2 – 數(shù)據(jù)出現(xiàn)頻次圖

這些點出現(xiàn)的頻次所呈現(xiàn)出的特性就是一種概率分布。將圖2中的柱狀圖進(jìn)行平滑，找出其頻次數(shù)的平滑擬合線，如圖3。繼續(xù)，將縱坐標(biāo)的頻次數(shù)改為累積頻次數(shù)，例如，假定柱狀圖中以數(shù)值44為起點，數(shù)值44出現(xiàn)了3次，數(shù)值45出現(xiàn)了5次，累積頻次圖的縱坐標(biāo)則變?yōu)樾∮跀?shù)值44的數(shù)出現(xiàn)了3次，小于數(shù)值45的數(shù)出現(xiàn)了（3+5）次，以此類推，則成為累積頻次圖（CumulativeDistribution Function, CDF，其縱坐標(biāo)變成各級次數(shù)除以總次數(shù)的比值）。如果將累積頻次圖的縱坐標(biāo)改為對數(shù)坐標(biāo)，所有的頻次數(shù)則變成了一個直線分布。至此，我們找到了這個數(shù)據(jù)樣本的一般性規(guī)律：數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布。


圖3– 累積頻次圖（CDF）

對數(shù)縱坐標(biāo)下的累積頻次圖，絕大多數(shù)的點都分布在中間的一條直線上，中間直線的左右兩邊各有一條線，這兩條線幾乎將所有的點都囊括在其中。這兩條線所形成的區(qū)域，稱為置信區(qū)間。本案例中，這個置信度為95%，即100個樣本中有95個處于這個置信區(qū)間中。

正態(tài)分布是諸多概率分布中的一種。其他常用的分布還有對數(shù)正態(tài)分布、二項式分布、威布爾分布、極值分布等。對于工程應(yīng)用來說，沒有必要過多的考慮這些分布的數(shù)學(xué)公式，有很多統(tǒng)計軟件，如MINITAB[1]，可以幫助我們解決諸如此類的概率統(tǒng)計問題。我們可以通過軟件選擇合適的分布表達(dá)數(shù)據(jù)，找到最適合這些數(shù)據(jù)的分布即可。

舉個例子。假如我們做了12個零部件試驗，得到了在某一固定幅值下的12組失效次數(shù)，如表2。

表2 – 試驗失效次數(shù)


我們用不同的概率分布來表達(dá)這組數(shù)據(jù)，如圖4。通過肉眼，直觀判斷對數(shù)正態(tài)分布最適合這組數(shù)據(jù)。實際上，通過數(shù)學(xué)指標(biāo)AD值（Anderson-Darling）也能得到同樣的判斷。AD值越小，對應(yīng)的P值（P-Value）越大，概率分布與數(shù)據(jù)的適應(yīng)性越好。如果P值過小，通常為小于0.1，則該組數(shù)據(jù)不服從于所選擇的分布。


圖4 – 通過不同的概率分布表達(dá)數(shù)據(jù)

一旦選定了合適的分布，我們即可直接讀取這組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計值。如表2數(shù)據(jù)的均值（mean）或中值（median）[2]約為83,000，或者說我們有95%的信心這組數(shù)據(jù)的中值處于70,000和98,000之間（圖5）。在現(xiàn)有測試樣本數(shù)的條件下，這是我們對這組數(shù)據(jù)的統(tǒng)計特征能做到的做好的估計。


圖5 – 對數(shù)正態(tài)分布


圖6 – 比較6個樣本數(shù)和12個樣本數(shù)的中值

如果將服從同一概率分布的6個樣本值和12個樣本值放在一起比較（如圖6），會發(fā)現(xiàn)兩組數(shù)據(jù)的中值接近，但12個樣本值的概率分布置信區(qū)間更小，這意味著樣本數(shù)越多，其概率分布越趨于集中，由此預(yù)測大樣本概率的精度會越高。

現(xiàn)在我們可以看到概率的好處了。它幫助我們解釋測試結(jié)果并告訴我們結(jié)果的離散度會有多大。在后續(xù)的文章中，我們會運用概率來分析道路測試數(shù)據(jù)和試驗室測試結(jié)果。

需要強(qiáng)調(diào)的是，任何工程測試數(shù)據(jù)都是一個估計。估計值的精度取決于測試方法的定義，試驗樣本的多少，以及表達(dá)試驗結(jié)果的變量的選擇。而置信區(qū)間表達(dá)了試驗結(jié)果可能的離散度，在總結(jié)試驗結(jié)論時需要考慮進(jìn)去。

我們通過兩組數(shù)據(jù)來舉例說明。假定我們從測試1中獲得了10個測試結(jié)果，從同樣的測試2中獲得了100個測試結(jié)果，測試結(jié)果服從正態(tài)分布如圖7所示。


圖7 – 測試結(jié)果

從圖中可以看到，測試1的均值為93.4，測試2的均值為100.5，兩者約7%的差異。相比測試1，測試2的結(jié)果置信區(qū)間精度高出很多。測試1的置信區(qū)間為±7% ，而測試2的置信區(qū)間< ±2%。

再舉一個利用統(tǒng)計概念幫助我們解釋試驗結(jié)果的例子。一個整車生產(chǎn)廠將某個零部件的售后失效里程數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計。數(shù)據(jù)來源于兩個不同的區(qū)域。將該部件在兩個區(qū)域的失效里程用概率分布表達(dá)，如圖8所示。兩組數(shù)據(jù)均服從正態(tài)分布，其均值大致相同，但分布的斜率完全不同。從圖中可以看出，對區(qū)域A，絕大多數(shù)零部件會在9萬公里左右失效，而區(qū)域B則會到16萬公里左右，此外，區(qū)域A的載荷輸入或者說道路條件比區(qū)域B穩(wěn)定，因此其零件失效里程數(shù)相對穩(wěn)定。換句話說，區(qū)域B駕駛條件更加惡劣，零件失效里程數(shù)的離散度更大。


圖8 – 售后失效數(shù)據(jù)

總結(jié)來說，可供分析的數(shù)據(jù)樣本量越多，對數(shù)據(jù)統(tǒng)計量的預(yù)測精度越高。在工程實踐中，由于時間和成本的關(guān)系，往往得不到足夠的試驗樣本數(shù)，這是我們需要面對的挑戰(zhàn)，需要取舍和綜合判斷。


[1] http://www.minitab.com/en-us/
[2]中值又稱中位數(shù)，當(dāng)樣本項數(shù)n為奇數(shù)時，處于中間位置的樣本值即為中位數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)時，中位數(shù)則為處于中間位置的2個樣本值的平均數(shù)。只有在正態(tài)分布下，均值和中值相等。