作者:雷靖 馬曉燕 吳杰芳 宋家慶

本文摘編自《非線性汽車懸架系統(tǒng)減振控制方法》，機(jī)械工業(yè)出版社出版

對(duì)于一個(gè)數(shù)學(xué)模型已知的系統(tǒng)，要解決的首要間判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因?yàn)椴环€(wěn)定的系統(tǒng)是不能正常工作的。系統(tǒng)在受到外.后偏離了原有的平衡狀態(tài)，而通過施加的控制力系統(tǒng)能夠克服干擾且有能力在一個(gè)新的平衡狀態(tài)下繼續(xù)工作，系統(tǒng)的這種能力叫作系統(tǒng)的穩(wěn)定性。在經(jīng)典控制理論中，對(duì)于單輸入-單輸出的線性定常系統(tǒng)，可以用奈奎斯特判據(jù)、勞斯判據(jù)等來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但當(dāng)系統(tǒng)是時(shí)變的或非線性的時(shí)，這些判據(jù)就不能應(yīng)用了。本章將介紹可用來確定時(shí)變系統(tǒng)或非線性系統(tǒng)的更一般的方法--李雅普諾夫(Lypunov)直接法(也稱為李雅普諾夫第二方法)，也就是不用解出狀態(tài)方程就可確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種方法。

第一節(jié) 李雅普諾夫穩(wěn)定性的定義

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，與系統(tǒng)的初始條件及外界擾動(dòng)的大小無關(guān);而非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性則與初始條件及外界擾動(dòng)的大小都有關(guān)系。在經(jīng)典控制理論中沒有給出同時(shí)適用于線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的一般的穩(wěn)定性定義。李雅普諾夫直接法是一種普遍方法，對(duì)于線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)都適用。李雅普諾夫給出了對(duì)于任何系統(tǒng)都適用的關(guān)于穩(wěn)定性的一般定義。

一、狀態(tài)向量的平衡狀態(tài)及球域

(一)狀態(tài)向量的平衡狀態(tài)設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

第二節(jié) 李雅普諾夫直接法

一、什么是李雅普諾夫直接法

早在1892年，俄國(guó)的李雅普諾夫就給出了研究穩(wěn)定性的李雅普諾夫法:李雅普諾夫第一法和李雅普諾夫第二法。由于受到當(dāng)時(shí)條件的限制，李雅普諾夫法在工程上并不實(shí)用。隨著現(xiàn)代控制理論和計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，應(yīng)用李雅普諾夫法來研究控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅是十分必要，而且是完全可能的了。這也就是在現(xiàn)代控制理論中又重提李雅普諾夫法的原因。

李雅普諾夫第一法是把非線性函數(shù)用近似級(jí)數(shù)表示，然后用近似方法解這個(gè)非線性方程;李雅普諾夫第二法不是通過解方程，而是通過一個(gè)叫作李雅普諾夫函數(shù)的純量函數(shù)來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由于李雅普諾夫第二法不用解方程就能直接判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，所以又叫作李雅普諾夫直接法。

對(duì)于現(xiàn)代控制理論來說，李雅普諾夫直接法具有更明顯的優(yōu)越性。因?yàn)榍蠼夥蔷€性系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程一般都很困難，所以不用解方程就能確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性就顯得更為優(yōu)越。另外，用李雅普諾夫直接法不僅能判別系統(tǒng)是否穩(wěn)定，還能分析線形或非線性系統(tǒng)的瞬時(shí)響應(yīng)。因此在現(xiàn)代控制理論中引起重視的是李雅普諾夫直接法。

李雅普諾夫直接法是從能量的觀點(diǎn)來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。如果一個(gè)系統(tǒng)儲(chǔ)存的能量是逐漸衰減的，這個(gè)系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，反之，如果系統(tǒng)不斷從外界吸收能量系統(tǒng)的能量越來越大，這個(gè)系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。李雅普諾夫直接法就是個(gè)普遍的方法，李雅普諾夫函數(shù)V(x)不僅限于是能量函數(shù)，實(shí)際上很多復(fù)雜的系統(tǒng)往往不能直觀地找到能量函數(shù)，可以把V(x)看成虛構(gòu)的能量函數(shù)，只要能找到純量函數(shù)V(x)，根據(jù)V(x)和dV(x)/dx的符號(hào)就能判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這樣一來，判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的問題就可以歸結(jié)為尋找李雅普諾夫函數(shù)V(x)。過去，要想找到李雅普諾夫函數(shù)是靠試探，要憑人的經(jīng)驗(yàn)和技巧，這也是李雅普諾夫直接法長(zhǎng)期以來不能推廣的主要障礙。數(shù)字計(jì)算機(jī)的發(fā)展使這一障礙正在逐漸得以清除，就像數(shù)字計(jì)算機(jī)把整個(gè)控制理論從頻域帶回時(shí)域一樣，它也把穩(wěn)定性的判別從奈奎斯特判據(jù)等帶回到李雅普諾夫直接法。由數(shù)字計(jì)算機(jī)不僅可以找到所需要的李雅普諾夫函數(shù)，而且還能找到系統(tǒng)的穩(wěn)定區(qū)域。

本文摘編自《非線性汽車懸架系統(tǒng)減振控制方法》，機(jī)械工業(yè)出版社出版，經(jīng)出版方授權(quán)發(fā)布。

本書結(jié)合作者與課題組成員多年的研究工作，介紹了時(shí)滯非線性懸架系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立，包括單輪懸架、半車懸架和整車懸架；詳細(xì)介紹了半主動(dòng)時(shí)滯控制和幾種非線性減振控制的設(shè)計(jì)方法，包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)監(jiān)督控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、輸入-輸出反饋線性化控制、delta域很優(yōu)減振控制、輸入-狀態(tài)采樣控制以及輸出反饋控制；在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用懸架模型進(jìn)行了仿真比較和驗(yàn)證。本書反映了作者與課題組的近期新研究成果。本書既包括理論推導(dǎo)、證明，又結(jié)合懸架模型進(jìn)行了仿真驗(yàn)證,可供從事控制理論與應(yīng)用的科研人員、工程人員、高等院校相關(guān)專業(yè)的教師、研究生、高年級(jí)本科生研究與參考。