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車輛耐久性工程中的重要隨機變量及如何確定其服從怎樣的分布模型

2019-02-16 16:36:43·  來源：耐久論壇  作者：李旭東博士  
　
1 RangePair計數(shù)，Miner線性累積損傷假設，偽損傷如圖1(a)所示，無論是一個怎樣的時域信號（不管它是左前輪六分力的垂向分量，還是軸頭加速度，抑或是減振器的相
1 RangePair計數(shù)，Miner線性累積損傷假設，偽損傷
如圖1(a)所示，無論是一個怎樣的時域信號（不管它是左前輪六分力的垂向分量，還是軸頭加速度，抑或是減振器的相對位移……），都可以通過Range Pair計數(shù)將較小的幅值循環(huán)從隨機載荷中分離和計數(shù)出來，最終得到這樣一個計數(shù)結果：幅值（Range）是多么大的載荷在剛才那樣一個隨機時域信號中出現(xiàn)了多少回(Pair)。
在此基礎上，結合Miner線性累積損傷假設，可以將時域信號轉化成與損傷相關聯(lián)的一種數(shù)值。Miner線性累積損傷假設不難理解：如圖1(b)所示，如果對于一個結構施加單一的恒幅值載荷，根據(jù)相應的SN曲線可以知道該結構能夠承受周次的循環(huán)載荷；但是，如果經(jīng)由Range Pair計數(shù)發(fā)現(xiàn)某一隨機載荷過程中對應于幅值為的載荷實際上一共出現(xiàn)了周次，那么，我們說幅值為的載荷造成的損傷為。而這一隨機載荷造成的總損傷D即為這段隨機載荷中大大小小不同幅值的載荷造成損傷的“線性累積”，也就是。
(a) Range Pair計數(shù)示意圖 
        (b) Miner線性損傷累積假設示意圖
圖1 RangePair計數(shù)與Miner線性累積損傷假設1
 
這種將某一隨機載荷向損傷進行的轉化是非常粗糙的，因為這里面有太多在進行材料和結構疲勞壽命評估時需要考慮的因素都沒有考慮在內(nèi)，因此在車輛耐久性工程領域，我們習慣于把這種轉化生成的與損傷相關聯(lián)的量值稱為“偽損傷”（Pseudo Damage），或者“相對損傷”。
這兩個名字實在是取的比較妙。“偽損傷”，在于提示和強調(diào)，這種損傷數(shù)值是“偽”的，是假的，把這些個數(shù)值取倒數(shù)，并不對應疲勞壽命結果。那么這種量值的存在還有什么意義呢？“相對損傷”的命名提醒我們，要從“相對”的角度去理解和利用這一計算結果。如圖2所示，如果讓六個司機、駕駛同一車輛、在同一路面上各跑一圈，取得六個數(shù)據(jù)樣本，那么對這六個時域數(shù)據(jù)樣本都進行Range Pair計數(shù)，繼而計算偽損傷，如圖2所示，偽損傷的數(shù)值有一個分布和變化，有的大，有的小，這反映了駕駛習慣的變異性。如上所述，從每一個損傷的數(shù)值來看，這六個損傷數(shù)值都是“偽”的，但是，這六個數(shù)值之間的“相對”關系是真實的，也就是說誰開車開的比較“費”，誰開的比較“省”，這種相對關系的反應是客觀的。究其原因，是在偽損傷的計算過程中，抓住了載荷幅值變化對于材料和結構疲勞壽命影響這個最主要的因素，因此盡管其結果比較粗糙，但是從相對意義上去理解和利用這一信息還是可以的。
千萬不能瞧不起偽損傷這一粗糙的計算結果，我們將看到，偽損傷在車輛耐久性工程中是一個非常重要的量值，在整個車輛耐久性工程研發(fā)的各個環(huán)節(jié)，發(fā)揮著貫穿始終和穿針引線的作用。
圖2 從相對損傷的角度理解和運用偽損傷1
    由于車輛耐久性的設計指標往往關聯(lián)于某一設計里程，因此常常將一段載荷的偽損傷數(shù)值D除以這段載荷所對應的行駛里程L，并將這一數(shù)值稱為偽損傷密度d=D/L，在使用起來更加方便。與偽損傷相關的還有其他幾個常用的“變體”，如等效載荷幅值，也都大同小異。
2 車輛耐久性工程中的重要隨機變量
什么是隨機變量？簡單的說，隨機變量就是“其值隨機會而定”的變量。正確把握這一概念的關鍵在于事件發(fā)生的前后：在事件發(fā)生前，我們不知道它最終將取何值，這個要憑機會（隨機的意思就在于此）；而一旦事件發(fā)生，它取什么值就確定了。
車輛耐久性工程中的重要“事件”是什么呢？車輛累積行駛里程達到設計里程。比如，對于乘用車而言，這一事件為車的累積行駛里程達到（比如說）30萬公里；對于商用車而言，這一事件為車的累積行駛里程達到（比如說）120萬公里。
車輛耐久性工程中的重要隨機變量是什么呢？有很多，比如說隨機變量X1：
X1 = 車輛累積行駛里程達到設計里程時左前輪垂向六分力對應的偽損傷
    類似的：
X2 = 車輛累積行駛里程達到設計里程時左前輪軸頭垂向加速度對應的偽損傷密度
X3 = 車輛累積行駛里程達到設計里程時左前懸減振器相對位移對應的等效載荷幅值
    概括起來，車輛耐久性工程中的重要隨機變量是：
Xi = 車輛累積行駛里程達到設計里程時車輛某處的某載荷對應的偽損傷（或偽損傷密度，或等效載荷幅值，……）
在《車輛耐久性工程的核心挑戰(zhàn)及應對》一文中我們談到過，由于無法對于客戶使用車輛的條件進行有效的限定，車輛達到設計里程時所經(jīng)受的載荷是一個離散非常嚴重的隨機變量。根據(jù)Fisher先生對于統(tǒng)計學任務的概括，本篇文章圍繞著“定模型”展開一點探討，也就是，“車輛累積行駛里程達到設計里程時，車輛某處的某載荷對應的偽損傷”Xi =x的概率p = f (x)服從怎樣的分布？如何確定和證明它服從的是這樣一種分布，而不是另外一種分布？這里面涉及的問題稱為擬合優(yōu)度檢驗，屬于統(tǒng)計學中假設檢驗的范疇，將涉及到兩位統(tǒng)計學大家K. Pearson和R. A. Fisher在上世紀初得到的重要成果。
 
3 他有沒有出老千！
一個哥們兒在賭場玩篩盅，如魚得水，被人懷疑在篩子上做了手腳，這種情況下如何分別是非？
我們需要為了這場官司做一些“統(tǒng)計試驗”。隨機的把這個篩子拋n次（也就是統(tǒng)計試驗重復n次），比如說n=60次，記錄下每一次獲得的點數(shù)。“理論”上說，如果這個篩子做的不偏不倚，每一個點數(shù)出現(xiàn)的機會（概率pi）都是一樣的，也就是pi=1/6，i=1,2,…,6，因此，理論上說每一個點數(shù)都會出現(xiàn)10次，當然，這是理想狀態(tài)（理論值）。我把60次統(tǒng)計試驗結果匯總，獲得如表1所示，各個點數(shù)實際出現(xiàn)的次數(shù)vi，如表1所示，比如說v1=12，v2=13，等等。
表1 統(tǒng)計試驗理論和實際試驗結果匯總
    顯然，我們不指望每一個點數(shù)最終獲得的試驗結果也都是10次，與理論值百分之百的吻合，但是很自然的，如果表1中后兩行差異越小，我們會越覺得實際結果與理論結果吻合的越好?，F(xiàn)在要找出一個適當?shù)牧縼矸从尺@種差異。K. Pearson采用的量是
這個重要的統(tǒng)計量稱為Pearson的擬合優(yōu)度統(tǒng)計量，簡稱統(tǒng)計量。K. Pearson在1900年的證明：如果統(tǒng)計結果服從某一分布模型（本例中，如果篩子沒有被做手腳而服從均勻分布模型），那么在樣本大小時（也就是將擲篩子的試驗無窮盡的進行下去），Z的分布趨向于k-1自由度的分布，即，本例中k=6。這樣，我們可以根據(jù)K. Pearson的重要結論對于篩子是否被做過手腳這件事給出一個科學和明確的判斷。
4 檢驗
我們將上一小節(jié)由K. Pearson提出的擬合優(yōu)度檢驗方法稱之為檢驗。在上一小節(jié)中我們用一個擲篩子的例子，基本闡述了進行檢驗的要點、步驟和流程。但是，擲篩子的例子是一個離散型的分布模型，而第2小節(jié)提到的車輛工程中的重要隨機變量Xi是一個連續(xù)型的隨機變量，其對應的分布模型也將是連續(xù)型的分布模型。在針對該連續(xù)型的隨機變量進行檢驗時，其大的流程框架不變，但是在一些細節(jié)的處理上稍有不同，而且在某些情況下檢驗所仰仗的核心定理也需要有所修正，這里面蘊含著K. Pearson一直沒有意識到的一個錯誤，而這一錯誤直到1924年才被R. A. Fisher糾正過來。
假設我們想證明或判斷一下，某連續(xù)性隨機變量是否服從正態(tài)分布，而該正態(tài)分布的兩個參數(shù)，均值和方差，我們是事先不知道的，這個情形是我們在實際工程中最常見的狀況。那么如何把這一情形轉化成上一小節(jié)擲篩子的情形呢？
首先，把隨機變量在其取值范圍上分割成k個區(qū)間
為了獲得表1中的理論解，我們需要計算正態(tài)分布模型在每個區(qū)間中的概率，這一過程并不好算，一個近似的方法是通過參數(shù)估計（這是下一篇文章談論的話題）獲得樣本均值和樣本方差，從而確定正態(tài)分布模型，然后計算該正態(tài)分布模型“落在”各個區(qū)間上的理論值。
試驗值比較好算，根據(jù)實際試驗結果看看落在各個區(qū)間上的試驗值是多少就可以。這樣，問題就回到了上一小節(jié)的情形。
我們注意到，剛才在確定正態(tài)分布的時候，分布模型的兩個參數(shù)（均值和方差）我們事先是不知道的，需要通過參數(shù)估計獲得這兩個參數(shù)的估計值。這一細節(jié)使得K. Pearson在1900年給出的定理是有瑕疵的，R.A. Fisher在1924年糾正了這一缺陷，給出了如下完美的重要定理：
如果統(tǒng)計結果服從某一分布模型，而分布模型中有r個參數(shù)需要估計，那么在樣本大小時，Z的分布趨向于k-1-r自由度的分布，即，定理中k表示劃分成的區(qū)間數(shù)目。
運用檢驗，我們可以對于車輛耐久性工程中的重要隨機變量，即
Xi = 車輛累積行駛里程達到設計里程時車輛某處的某載荷對應的偽損傷（或偽損傷密度，或等效載荷幅值，……）
服從什么樣的分布得出明確的結論，這一工作在車輛耐久性工程中已經(jīng)有了相當?shù)姆e累，目前一般認為2，Xi 服從對數(shù)正態(tài)分布。而其他行業(yè)對類似問題的研究也已經(jīng)取得了一些重要的結論，如圖3所示，可供參考。
有了檢驗這一利器，即便面對一些不太熟悉的隨機變量、對其服從什么分布的問題不是很清楚，只要有一些樣本數(shù)據(jù)的支撐，就可以經(jīng)由檢驗給出明確的結論。
圖3 航空航天行業(yè)典型使用工況中環(huán)境載荷所服從的分布3
附錄：Karl Pearson（1857～1936），生卒于倫敦，公認為統(tǒng)計學之父。K. Pearson 最重要的學術成就，是為現(xiàn)代統(tǒng)計學打下基礎。許多熟悉的統(tǒng)計名詞如標準差，成分分析，卡方檢驗都是他提出的。
參考文獻
1. 來源于西門子工業(yè)軟件有限公司內(nèi)部資料.
2. P.Johannesson, M. Speckert, Guide to load analysis for durability in vehicleengineering, 2014, Edition I, John Wiley & Sons, Ltd.
3.Christian Lalanne, Mechanical environment test specification developmentmethod, 1997, Edition III.
 
李旭東，2003年畢業(yè)于大連理工大學機械工程學院，獲工學學士學位；2008年畢業(yè)于北京大學力學系固體力學專業(yè)，獲理學博士學位。2008年至2014年，就職于中國航空綜合技術研究所，歷任工程師、高級工程師；2015年至今，就職于西門子工業(yè)軟件（北京）有限公司，任職耐久性應用工程師。長期專注于（金屬）材料和結構耐久性和損傷容限分析方法研究。
 
作者個人微信號：lixudong2008 （添加微信號請注明“姓名+工作單位”） 
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