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連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)LQR問題求解：以車輛二自由度模型為例
2021-12-23 08:51:10· 來源：智能運載裝備研究所 作者：劉玉杰
線性二次型最優(yōu)控制（Linear Quadratic Regulator，LQR）是一種具有二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制方法，用穩(wěn)定性理論解決“參數(shù)優(yōu)化問題”，通過選取適當(dāng)?shù)臋?quán)重參數(shù)
線性二次型最優(yōu)控制（Linear Quadratic Regulator，LQR）是一種具有二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制方法，用穩(wěn)定性理論解決“參數(shù)優(yōu)化問題”，通過選取適當(dāng)?shù)臋?quán)重參數(shù)，可以在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，使二次型性能指標(biāo)最小化，從而使系統(tǒng)的過渡過程具有較好的性能，因此在實踐上得到廣泛應(yīng)用。LQR控制思想是通過計算最優(yōu)控制變量使得二次型目標(biāo)函數(shù)最小化，詳細(xì)推導(dǎo)過程可詳見公眾號文章：無人駕駛控制算法之LQR控制和一種面向二自由度動力學(xué)模型應(yīng)用的控制器和觀測器設(shè)計迭代方法。但是，連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的LQR問題求解是有區(qū)別的，因此，本文就以車輛二自由度模型為例，分別對連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)的LQR問題求解展開討論。
首先，對兩個系統(tǒng)的Riccati方程和最優(yōu)反饋增益進(jìn)行推導(dǎo)。
一.連續(xù)系統(tǒng)有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器
假定線性時變受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為：
其中，m維控制向量u(t)不受約束。
要求確定u(t)，使得如下性能指標(biāo)為最?。?/span>
構(gòu)造哈密頓函數(shù)：
控制方程為：
故最優(yōu)控制為：
通常，希望最優(yōu)控制以狀態(tài)反饋形式，為此假定
則
最優(yōu)控制對應(yīng)的規(guī)范方程組為：
即
由
可得
代入規(guī)范方程組得：
則
由x(t)任意可得Riccati方程為:
或
綜上所述，連續(xù)時間有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題最終歸結(jié)為Riccati方程求解問題。由Riccati方程求出P，便可得出最優(yōu)控制：
其中，L(t)為最優(yōu)狀態(tài)反饋增益矩陣。
二.連續(xù)系統(tǒng)無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器
針對上述連續(xù)系統(tǒng)有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，當(dāng)tf→∞時，LQR問題的性能指標(biāo)為
線性定常系統(tǒng)的無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題可以看成時線性可變系統(tǒng)退化為線性定常系統(tǒng)且控制時間tf→∞時的極限情況。這時Riccati方程的解隨著tf→∞將趨于一穩(wěn)態(tài)值。它是下列Riccati代數(shù)方程的解：
最優(yōu)控制為：
三.離散系統(tǒng)有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器
假設(shè)線性時變離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：
二次型性能指標(biāo)為：
采用極小值原理進(jìn)行求解，首先構(gòu)造哈密頓函數(shù)：
控制方程為
假設(shè)
代入?yún)f(xié)態(tài)方程中得：
由狀態(tài)方程和控制方程可得：
可得
將上式代入并消去等式兩端的x(k)，可得K(k)必須滿足如下Riccati矩陣差分方程：
對上式方括號部分應(yīng)用矩陣求逆引理：
令
可得Riccati方程的另一個形式：
從k=N開始反向遞推計算式即可決定K(k)。
下面來計算u(k)。由式得：
可得
則控制變量可寫成另一種形式：
對上式大括號內(nèi)引用前面的矩陣求逆引理，令
可得
則最優(yōu)反饋增益矩陣為：
四.離散系統(tǒng)無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器
與連續(xù)系統(tǒng)無限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器相類似，當(dāng)N→∞時，LQR的性能指標(biāo)為
參考上述離散系統(tǒng)的有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器，將時變矩陣換成常數(shù)陣，增益矩陣K趨近于一常值矩陣，可得Riccati方程為：
則最優(yōu)控制為：
五.仿真求解
基于LQR對汽車二自由度模型進(jìn)行控制，并將其分成連續(xù)和離散系統(tǒng)進(jìn)行對比。對于離散系統(tǒng)利用迭代法對Riccati方程進(jìn)行求解，進(jìn)而求解K值；而連續(xù)系統(tǒng)則直接利用MATLAB中LQR命令對K值進(jìn)行求解。結(jié)果顯示，無論是連續(xù)系統(tǒng)還是離散系統(tǒng)所求K值是幾乎相同的（如表1所示），也就是說明連續(xù)與離散系統(tǒng)的調(diào)節(jié)效果幾乎相同（如圖1，紅線表示連續(xù)系統(tǒng)，藍(lán)線表示離散系統(tǒng)）。由此可知，在對Riccati方程進(jìn)行求解時，無論使用離散方法求解還是連續(xù)方法求解對系統(tǒng)的控制效果幾乎是相同的，不過值得說明的是，兩者結(jié)果的差別還與系統(tǒng)離散的精度有關(guān)。
表1 增益矩陣K對比
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