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3.2 可變形路面上的車輛動(dòng)力學(xué)

可變形路面上的車輛動(dòng)力學(xué)與土壤－車輪相互作用的性質(zhì)有著密切關(guān)聯(lián)， 因此， 必須明確車輪－路面規(guī)范， 以建立相應(yīng)的模型來(lái)研究在可變形路面上行駛的車輛的性能。車輛地面力學(xué)的復(fù)雜性在于表面變形，而鋪裝道路由于其表面變形量為零， 故忽略了表面變形所引起的復(fù)雜性。

以下是基于輪胎與地面相互作用的四種策略：1) 可變形的地面（軟的土壤）與柔性輪胎。2)硬質(zhì)表面（壓實(shí)的土壤）與柔性輪胎。3)可變形的地面（軟的土壤）與剛性輪胎（過(guò)度充氣的輪胎或者金屬圓盤）。4)硬質(zhì)表面（壓實(shí)的土壤）與剛性輪胎（過(guò)度充氣的輪胎或者金屬圓盤）。對(duì)硬質(zhì)表面上任何問(wèn)題的研究都可以通過(guò)應(yīng)用路面上的車輛動(dòng)力學(xué)來(lái)解決， 因?yàn)橛操|(zhì)表面問(wèn)題是路面變形的簡(jiǎn)化問(wèn)題， 它忽略了地面的沉降， 因此， 本書將著重于研究柔性輪胎和剛性輪胎與軟地面之間的相互作用。

剛性輪胎和柔軟土壤之間的相互作用一直是動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)， 有時(shí)候用一個(gè)剛性的輪子來(lái)表示輪胎可能會(huì)更好， 因?yàn)閯傂暂喚哂胁豢勺冃蔚慕Y(jié)構(gòu)（例如過(guò)度充氣的輪胎），特別是當(dāng)輪胎在柔軟地形上行駛時(shí)， 與輪胎的變形相比， 地面的變形更為顯著。圖3.14是剛性車輪和可變形土壤之間各種變量的相互關(guān)系。

作用在車輪上的垂直支撐力可以通過(guò)垂向壓力來(lái)進(jìn)行計(jì)算：

然后通過(guò)對(duì)整個(gè)接觸區(qū)域上的剪切應(yīng)力進(jìn)行積分， 來(lái)計(jì)算車輪底部的橫向剪應(yīng)力所產(chǎn)生的作用在車輪上的力， 如等式(3.56)所示， 假設(shè)在整個(gè)過(guò)程中接觸區(qū)域的寬度保持不變。

從等式(3.56)可以得出， 接觸區(qū)域上從進(jìn)入角開(kāi)始到后角， 剪應(yīng)力隨著土壤縱向剪切位移的增加而線性地增加。整體剪切 變形的大小可以通過(guò)下式進(jìn)行計(jì)算：

地面變形遵循壓力沉降原理， 研究的是地面的承載能力， 承載力理論來(lái)源于可塑性理論， 為車輛機(jī)動(dòng)性的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)， 垂向負(fù)載通過(guò)驅(qū)動(dòng)輪作用在地面上導(dǎo)致了地面下沉。計(jì)算出土壤表面和車輪上的徑向應(yīng)力， 進(jìn)而得到車輪的作用力和動(dòng)力學(xué)特性， 第一步， 利用半經(jīng)驗(yàn)方法對(duì)接觸平面上的應(yīng)力分布進(jìn)行預(yù)測(cè)， 在旋轉(zhuǎn)的輪胎和土壤表面之間的接觸面上會(huì)產(chǎn)生正應(yīng)力和剪應(yīng)力， 根據(jù)Wong的理論， 垂向應(yīng)力的分布為， 在接觸區(qū)域的開(kāi)始處為零， 并在進(jìn)入角和退出角之間的某個(gè)位置達(dá)到最大值， 如圖3. 16所示。在此基礎(chǔ)上， 剛性車輪下徑向應(yīng)力分布的最大值點(diǎn)并不是在車輪中心的正下方， 而更可能出現(xiàn)在車輪的前側(cè)， 并隨著滑移的增加而進(jìn)一步向車輪前側(cè)移動(dòng)。Bekker的方法假定車輪比土壤堅(jiān)硬得多， 因此車輪不會(huì)變形， 而是會(huì)陷入土壤中， 他通過(guò)對(duì)車輪－土壤界面的正應(yīng)力和剪應(yīng)力進(jìn)行積分來(lái)確定作用在車輪上的力， 垂向應(yīng)力、 切向應(yīng)力和側(cè)向應(yīng)力沿著車輪界面分布， 其中垂向應(yīng)力可以用Bekker提出的壓力沉降方程計(jì)算得出。 

當(dāng)沉降量較小時(shí)， 式中的b表示受載區(qū)域中較小的尺寸， 通常是矩形接觸區(qū)域的接觸寬度， 接觸長(zhǎng)度可以在方程中進(jìn)行假設(shè)， 變形參數(shù)丸和K中 是常數(shù)， 通常是通過(guò)沉降板試驗(yàn)得出。值得注意的是， 使用長(zhǎng)寬比大的矩形板和使用半徑等于矩形板寬度的圓形板進(jìn)行壓力沉降參數(shù)試驗(yàn)， 得到的結(jié)果幾乎是一樣的， 因此圓形板是一個(gè)更好的選擇， 因?yàn)樵谙嗤慕佑|壓力下， 圓形板得到壓力沉降參數(shù)所需要的載荷更低。

但是這個(gè)方程有兩個(gè)缺點(diǎn)， 即不能給出一個(gè)統(tǒng)一的方程來(lái)說(shuō)明不同形狀的平板， 而且也沒(méi)有考慮到土壤的體積密度， 因此人們提出了Bekker壓力－沉降方程的改進(jìn)版本， 也叫Bekker- Reece方程， 如下所示：

由于方程中要求車輪的半徑是恒定值，因此這些方程僅僅適用于剛性車輪，而事實(shí)上應(yīng)力場(chǎng)是不均勻分布的，但剪應(yīng)力作為正應(yīng)力的函數(shù)卻是呈線性分布的，這是個(gè)眾所周知的理論，此外，由于對(duì)徑向應(yīng)力和切向應(yīng)力的估算非常復(fù)雜，因此， 上式中的積分均需要通過(guò)數(shù)值積分方法進(jìn)行計(jì)算。

對(duì)應(yīng)力分布進(jìn)行積分得到作用在車輪上的力和轉(zhuǎn)矩。假定一個(gè)圓柱表面，則力和轉(zhuǎn)矩可以被表示為

在越野地形中，作用在車輪上的側(cè)向力可以被分解成兩部分。第一部分是接觸平面上側(cè)向平均剪力所引起的剪應(yīng)力，第二部分是作用在嵌入式車輪側(cè)面的推土效應(yīng)。

Chan提出的輪胎變形和土壤沉降法可以更好地描述輪胎與地形的柔性相互作用，接觸面的幾何形狀是限制輪胎變形的一個(gè)重要因素，并且在一定程度上受到車輪法向載荷的影響。在給定車輪角度時(shí)，車輪載荷作用下變形和未變形的車輪半徑如圖3. 17所示。

顯然，其接觸面的長(zhǎng)度和寬度以及輪胎的變形取決于各種輪胎參數(shù)，例如，所施加的垂向載荷、輪胎剛度和輪胎結(jié)構(gòu)，在此模型中 ，假設(shè)這些參數(shù)均是恒定值，并對(duì)縱向接觸應(yīng)力、橫向接觸應(yīng)力和垂向接觸應(yīng)力建立綜合數(shù)學(xué)模型 ，在這種情況下，推導(dǎo)出在進(jìn)入角和退出角之間這個(gè)范圍內(nèi)土壤沉降與輪胎變形之間 的函數(shù)關(guān)系如下：

3. 2. 1 柔性輪胎的縱向滑移和剪切位移

為了表征縱向力，必須正確識(shí)別剪切位移和縱向滑移，而剪切變形模型的研究是以接觸面形狀的確定為前提的。通過(guò)對(duì)剪切速度積分，可以得到任意角度0處土壤的剪切變形；通過(guò)對(duì)輪胎與地面接觸的整個(gè)區(qū)域上的界面速度進(jìn)行積分，可以計(jì)算出剪切位移。

3. 2. 2 柔性輪胎的應(yīng)力和力

假設(shè)在沉降過(guò)程中輪胎的寬度保持不變，可以近似地估算出牽引桿拉力和車輪載荷等牽引參數(shù)，再根據(jù)前后滑移線的交點(diǎn)來(lái)確定出施加在車輪上最大徑向力的位 置，但是首先需要確定Chan提出的應(yīng)力。

剛性車輪和柔性車輪非常容易沿著接觸區(qū)域形成不同的徑向（垂向）應(yīng)力，此外，輪胎的結(jié)構(gòu)和輪胎變形量的限制會(huì)極大地影響車輪施加在土壤剖面上的正應(yīng)力范圍，獲得最大徑向應(yīng)力值的一種簡(jiǎn)化方法是將輪胎放置在剛性表面上，并對(duì)接觸應(yīng)力進(jìn)行量化，此時(shí)，接觸應(yīng)力與接觸壓力相等。值得注意的是，胎體的剛度和輪胎的充氣壓力會(huì)影響到總的接觸壓力， 并且在接觸壓力和輪胎充氣壓力之間存在著一個(gè)線性關(guān)系。極限壓力必須與輪胎變形段的剛度相等， 可以表示如下：

式中，e是加載點(diǎn)的剛度；P;是輪胎的充氣壓力；a是加載點(diǎn)剛度相對(duì)于輪胎充氣壓力的變化率。

隨著車輪載荷的增加， 輪胎的正應(yīng)力也會(huì)增加， 輪胎的胎面變形和正應(yīng)力取決于它的剛度特性， 考慮到最大的變形總 是發(fā)生在輪胎垂向應(yīng)力的最大處， 因此對(duì)車輪與地面接觸面上的最大應(yīng)力進(jìn)行量化， 故作用在輪胎上的垂向 （徑向）應(yīng)力可以被表示如下：

再考慮到變形時(shí)的半徑， 則輪胎的縱向應(yīng)力可以用下式來(lái)表達(dá)：

對(duì)輪胎和地面的接觸面上的應(yīng)力進(jìn)行積分， 可以得到車輪的垂向載荷， 如果輪胎與地面的接觸寬度保持不變， 則車輪進(jìn)入角與退出角之間作用在車輪上載荷的迭代過(guò)程如下式所示：

在確定了車輪的載荷參數(shù)之后， 就可以開(kāi)始計(jì)算縱向力了， 將車輪與地面接觸區(qū)域上的垂向和縱向應(yīng)力進(jìn)行積分， 根據(jù)準(zhǔn)靜態(tài)平衡條件就可以得到縱向力。通過(guò)這種方法計(jì)算出的縱向力可以表示類似的基于牽引桿的剛性車輪牽引桿拉力參數(shù)。

3. 2. 3 柔性輪胎的橫向力

在輪胎 －地面相互作用模型中得到的剪切力取決于輪胎剛度隨滑移角的變化，而在公路行駛模式下， 預(yù)測(cè)輪胎剛度的時(shí)候， 它會(huì)隨著非零滑移角的減小而減小，因此輪胎的有效變形會(huì)隨著滑移角的增加而減小。

橫向的剪切位移為計(jì)算施加在車輪上的橫向力建立了基礎(chǔ)， 且可以通過(guò)從車輪角度對(duì)車輪的橫向速度進(jìn)行積分而得到：

在確定了車輪的橫向剪切位移后，作用在車輪上的剪應(yīng)力定義如下：

假定接觸寬度保持不變，在接觸區(qū)域上對(duì)剪應(yīng)力進(jìn)行積分，得到橫向力如下：

本文摘編自《越野車輛動(dòng)力學(xué)——分析、建模與優(yōu)化》，機(jī)械工業(yè)出版社出版，經(jīng)出版方授權(quán)發(fā)布。

《越野車輛動(dòng)力學(xué)——分析、建模與優(yōu)化》基于機(jī)械概念和理論給出了越野車輛系統(tǒng)建模、數(shù)學(xué)描述和性能優(yōu)化分析等問(wèn)題的相關(guān)方法，主要目的是較為準(zhǔn)確地概述越野汽車的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。本書首先建立了與車輛的行駛參數(shù)能夠很好地吻合的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)還介紹了高效地對(duì)在崎嶇不平路面上行駛的車輛進(jìn)行建模以獲得車輛很好性能的方法，以及更快地針對(duì)越野車輛進(jìn)行設(shè)計(jì)、開(kāi)發(fā)、分析的基本原理。本書有助于讀者開(kāi)發(fā)計(jì)算機(jī)程序，并使用一些最優(yōu)選的人工智能方法來(lái)對(duì)越野車輛動(dòng)力學(xué)進(jìn)行分析、建模和優(yōu)化。讀者可以根據(jù)需要選擇學(xué)習(xí)。本書可作為高等院校機(jī)械工程、車輛工程、交通運(yùn)輸及相關(guān)專業(yè)的本科生、研究生教材，也可供對(duì)越野車輛感興趣的研究人員和工程技術(shù)人員閱讀參考。