2.1  二自由度模型

將車輛的橫向控制模型簡(jiǎn)化為線性二自由度汽車模型，僅考慮車輛的橫向位移和橫擺角速度，如圖3所示。其中坐標(biāo)系的原點(diǎn)C與車輛的重心重合，車輛橫向加速度為Vy，縱向速度為Vego，橫擺角速度為ωr。

圖3 四輪轉(zhuǎn)向車輛二自由度模型

由車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)得，二自由度模型的方程為：

設(shè)車輛前后軸兩輪胎的側(cè)向合力為Fyf和Fyr，忽略回正力矩，則：

在二自由度模型中，前輪的橫向速度為：

后輪的橫向速度為：

車輛前后軸都是轉(zhuǎn)向軸，設(shè)前后輪的轉(zhuǎn)向角為δf和δr，則：

由于輪胎的側(cè)偏角很小，則前后輪的側(cè)偏角可近似為：

假設(shè)輪胎工作在線性區(qū)，則前后輪的側(cè)向力為：

與前輪轉(zhuǎn)向車輛相比，4WS系統(tǒng)的側(cè)向力和橫擺扭矩均多出了由后輪轉(zhuǎn)角引起的附加增量，這也是4WS系統(tǒng)可以改善車輛操縱穩(wěn)定性的根本原因所在。根據(jù)（3）-（12）可得：

對(duì)式（13）和（14）進(jìn)行變換可得4WS的狀態(tài)空間模型：

其中，Iz為車輛的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kg.m2），Caf和Car分別為車輛前后輪的側(cè)偏剛度（N/rad），δf和δr分別為前后輪轉(zhuǎn)角（rad）。

2.2  穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性

4WS的后輪轉(zhuǎn)向角輸入通常由兩部分信息決定：一部分是正比于前輪轉(zhuǎn)向角的輸入，另一部分是與側(cè)向加速度有關(guān)的輸入，其中側(cè)向加速度由縱向車速與橫擺角速度確定。假定四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的后輪轉(zhuǎn)向角控制輸入為：

其中，Gδ為前后輪轉(zhuǎn)向角之比，Ga為車輛側(cè)向運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的反饋增益。則二自由度模型可簡(jiǎn)化為

當(dāng)Gδ=Ga=0時(shí)，模型(17)等效于前輪轉(zhuǎn)向車輛的二自由度模型。當(dāng)車輛穩(wěn)態(tài)行駛時(shí)，車輛的穩(wěn)定行駛狀態(tài)即為車輛二自由度模型的平衡點(diǎn)即

根據(jù)(17)和(18)可得平衡點(diǎn)為

車輛穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向行駛時(shí)，四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的控制目標(biāo)是使穩(wěn)態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角為0，即橫向運(yùn)動(dòng)速度的穩(wěn)態(tài)值為0，可得

則前后輪轉(zhuǎn)向角之比為

因此，四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)(16)按照(21)來(lái)設(shè)定前后輪轉(zhuǎn)向角之比時(shí)，就可以保證車輛穩(wěn)態(tài)行駛時(shí)的橫向運(yùn)動(dòng)速度為0，而該前后輪轉(zhuǎn)向角比隨車輛行駛速度變化而變化。根據(jù)(21)可得臨界速度滿足關(guān)系式

則可得臨界速度為

在臨界車速V0附近時(shí)，前后輪轉(zhuǎn)向角之比Gδ約為0，此時(shí)四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)(16)等價(jià)于前輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)。如下圖所示，當(dāng)車速小于V0即低速時(shí)，前后輪轉(zhuǎn)向角之比Gδ為負(fù)值，前后輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，可減小轉(zhuǎn)彎半徑，提高車輛的通過(guò)性與操縱靈活性；當(dāng)車速大于V0即高速時(shí)，前后輪轉(zhuǎn)向角之比Gδ為正值，前后輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，車輛側(cè)向加速度響應(yīng)時(shí)間縮短，橫擺角速度響應(yīng)也大幅減小。

圖4 前后輪轉(zhuǎn)向角之比隨車速的變化曲線圖

四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)(16)按照(21)來(lái)設(shè)定前后輪轉(zhuǎn)向角之比時(shí)，根據(jù)(19)可得車輛的穩(wěn)態(tài)橫擺角速度響應(yīng)為

其中，穩(wěn)定性因數(shù)為

當(dāng)車速大于臨界速度V0時(shí)，由于前后輪轉(zhuǎn)向角之比Gδ為正值，因此，根據(jù)(24)可得四輪轉(zhuǎn)向車輛的橫擺角速度比兩輪轉(zhuǎn)向車輛的橫擺角速度大幅減小。此外，根據(jù)穩(wěn)定性因數(shù)(25)可得，前后輪轉(zhuǎn)向角之比Gδ并不改變車輛的轉(zhuǎn)向特性，而車輛側(cè)向運(yùn)動(dòng)狀態(tài)反饋增益Ga>0的引入增加了車輛不足轉(zhuǎn)向的趨勢(shì)，隨著車速的增加，將更好地抑制穩(wěn)態(tài)橫擺角速度增益，這說(shuō)明了正比例系數(shù)Ga的引入對(duì)4WS車輛的操縱穩(wěn)定性起著非常重要的作用。

2.3  楔形移動(dòng)特性

上節(jié)中分析了4WS車輛的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性，四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)(16)的控制目標(biāo)是使穩(wěn)態(tài)質(zhì)心側(cè)偏角為0，即橫向運(yùn)動(dòng)速度的穩(wěn)態(tài)值為0。當(dāng)4WS車輛做楔形移動(dòng)時(shí)，四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)(16)的控制目標(biāo)是使穩(wěn)態(tài)橫擺角速度為0，根據(jù)(19)可得前后輪轉(zhuǎn)向角之比Gδ為

根據(jù)(19)可得，比例系數(shù)Ga對(duì)橫向運(yùn)動(dòng)速度的穩(wěn)態(tài)值沒(méi)有影響，則可取Ga=0，則此時(shí)的四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)(16)為

此時(shí)，前后輪轉(zhuǎn)角相等，4WS車輛做楔形移動(dòng)，車輛的穩(wěn)態(tài)側(cè)偏角為

2.4  前輪轉(zhuǎn)向和四輪轉(zhuǎn)向的區(qū)別

當(dāng)四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)(16)按照(21)來(lái)設(shè)定前后輪轉(zhuǎn)向角之比Gδ且假設(shè)比例系數(shù)Ga=0.001時(shí)，根據(jù)車輛的二自由度模型(15)對(duì)4WS車輛的操縱性能進(jìn)行仿真分析，并與前輪轉(zhuǎn)向車輛的操縱穩(wěn)定性進(jìn)行比較。本節(jié)給出兩種典型工況下的仿真結(jié)果，通過(guò)與前輪轉(zhuǎn)向車輛的仿真結(jié)果對(duì)比來(lái)加以解釋說(shuō)明。本次仿真所采用的車輛參數(shù)如下表所示。

表1 仿真所采用的車輛參數(shù)

根據(jù)式(23)計(jì)算得到對(duì)應(yīng)的臨界速度在13.5m/s左右。1.階躍轉(zhuǎn)角輸入工況車速分別取10m/s、20m/s、30m/s三種工況，兩輪轉(zhuǎn)向車輛和四輪轉(zhuǎn)向車輛的前輪轉(zhuǎn)角輸入都是10°，4WS車輛的前后輪轉(zhuǎn)角輸入如圖5所示。由圖可見(jiàn)，當(dāng)車速小于臨界速度時(shí)，前后輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向相反，可減小轉(zhuǎn)彎半徑，提高車輛的通過(guò)性與操縱靈活性；當(dāng)車速大于臨界車速時(shí)，前后輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，且速度越快后輪轉(zhuǎn)角越大，有助于改善車輛的橫擺角速度響應(yīng)。

圖5  前后輪轉(zhuǎn)角輸入

前輪轉(zhuǎn)向車輛與四輪轉(zhuǎn)向車輛的操縱動(dòng)力學(xué)響應(yīng)對(duì)比結(jié)果包括側(cè)向速度與側(cè)向位移響應(yīng)、橫擺角速度響應(yīng)依次如下圖所示。由圖6可見(jiàn)，四輪轉(zhuǎn)向車輛穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)時(shí)沒(méi)有側(cè)偏現(xiàn)象，且瞬態(tài)過(guò)程的側(cè)偏角也小于前輪轉(zhuǎn)向車輛，速度越快瞬態(tài)控制效果越明顯，同時(shí)，對(duì)于四輪轉(zhuǎn)向車輛，車速越快側(cè)向速度越大，但最終都將趨近于0。由圖7可見(jiàn)，兩輪轉(zhuǎn)向車輛存在明顯的側(cè)偏現(xiàn)象，且車速越快側(cè)偏越嚴(yán)重，而四輪轉(zhuǎn)向車輛的側(cè)偏角明顯小于兩輪轉(zhuǎn)向車輛。由圖8可見(jiàn)，兩輪轉(zhuǎn)向車輛的橫擺角速度隨著車速的增大而增大，四輪轉(zhuǎn)向車輛的橫擺角速度隨著車速的增加而減小，這是因?yàn)楦咚贂r(shí)，前后輪為同位轉(zhuǎn)向，橫擺角速度減小，而在低速時(shí)，四輪轉(zhuǎn)向車輛采用逆位轉(zhuǎn)向策略，減小了轉(zhuǎn)彎半徑但是略微增大了橫擺角速度，不過(guò)與兩輪轉(zhuǎn)向車輛相比還是具有較大的優(yōu)勢(shì)，尤其是高速時(shí)的優(yōu)勢(shì)更明顯。由圖9可見(jiàn)，四輪轉(zhuǎn)向系統(tǒng)增加了車輛不足轉(zhuǎn)向的趨勢(shì)，隨著車速的增加，將更好地抑制穩(wěn)態(tài)橫擺角速度增益，這也說(shuō)明了正比例系數(shù)Ga的引入對(duì)4WS車輛的操縱穩(wěn)定性起著非常重要的作用。

圖6  側(cè)向速度響應(yīng)

圖7  側(cè)向位移響應(yīng)