相位圖為分析非線性系統(tǒng)的行為提供了一種有用的方法。Voser等人使用相圖來確定漂移平衡是不穩(wěn)定的鞍點[13]。圖 4 顯示了以漂移平衡為中心的完整非線性漂移方程的相位圖。相位圖與使用全非線性方程和數值線性化方程計算的軌跡重疊。為了生成線性化軌跡，將動力學圍繞所示的漂移平衡線性化一次，然后使用這些動力學計算整個軌跡的狀態(tài)導數。圖中所示的區(qū)域大約表示在路徑跟蹤實驗中觀察到的平衡周圍的狀態(tài)變量變化范圍。

圖 4.在橫向速度-偏航速率相位平面中繪制的相位圖和軌跡。動力學圍繞星號表示的平衡進行線性化，位于，和。使用非線性模型計算的相位圖以淺藍色箭頭顯示。使用線性化模型（藍線）和線性化模型（紅色虛線）計算從整個相位平面開始的模擬軌跡。請注意，使用線性化動力學模擬的軌跡與使用完全非線性動力學模擬的軌跡非常匹配。

在漂移平衡附近，使用線性方程計算的軌跡與使用非線性方程計算的軌跡定性匹配。沒有明顯缺失的動態(tài)或行為。此外，這些軌跡在定量意義上也非常吻合。這表明線性模型在平衡周圍足夠大的區(qū)域上很好地表示系統(tǒng)動力學，以便使用線性技術進行控制。雖然這里只展示了單個平衡的線性化，但圖 4 代表了大范圍的漂移平衡。

為了更好地理解線性化動力學如何從平衡到平衡變化，我們計算并繪制了整個橫向速度 - 偏航速率相位平面的平衡特征向量。漂移的兩種狀態(tài)表示有一個穩(wěn)定和一個不穩(wěn)定的特征向量;圖 5 顯示了相位平面。從質量上講，穩(wěn)定的特征向量在各種均衡中保持非常一致的方向。不穩(wěn)定特征向量的方向隨著漂移平衡的變化而逐漸改變。特征值大小也會隨著平衡值的變化而平滑而緩慢地變化。

圖5. 整個相平面漂移平衡的特征向量。顯示的平衡是通過保持縱向速度和曲率半徑恒定和變化的橫向速度從 -6 到 -2.5 m/s。計算并繪制每個繪制的均衡的線性動力學的特征向量。不穩(wěn)定的特征向量顯示為紅色，而穩(wěn)定的特征向量顯示為藍色。每個特征向量的大小由其相應的特征值進行縮放。請注意，當橫向速度顯著變化時，特征向量和值的方向和大小會平滑變化。

特征結構的一致性為漂移平衡提供了一些額外的見解。雖然漂移是不穩(wěn)定的，但不穩(wěn)定的特征是一致的，并且使用線性理解可以很好地預測。對于給定的線性控制器，當系統(tǒng)移動到相鄰平衡或在單個平衡周圍的區(qū)域時，開環(huán)動力學特征結構的一致性會導致閉環(huán)動力學的預期一致性。這讓我們更有信心，可以使用基于線性模型的控制器控制整個區(qū)域的車輛。

 Ⅳ 控制器開發(fā)

在不犧牲模型保真度的情況下，使用線性模型表示車輛動力學的能力允許將傳統(tǒng)的線性控制技術應用于控制漂移車輛的問題。

A. 穩(wěn)定和路徑跟蹤控制器

如（13a）所示，該系統(tǒng)由四種狀態(tài)表示：和和兩個輸入：和。所有狀態(tài)和輸入都以偏離平衡值的程度來衡量，當系統(tǒng)達到預期平衡時，狀態(tài)和輸入都將等于零（平衡值已經為零）。雖然線性化狀態(tài)方程可以應用多種線性控制技術，但本文重點介紹線性二次調節(jié)器 （LQR） 控制，因為它既熟悉又透明。無限視距 LQR 的增益矩陣很容易計算，和矩陣也有直觀的解釋。這樣就可以對線性化動力學進行額外的測試--系統(tǒng)是否以直觀的方式對這些矩陣的變化做出反應？第V-D 節(jié)通過實驗回答了這個問題。

矩陣和矩陣最初是根據布賴森法則[14]選擇的，并在模擬中進行了調整，最后在初步實驗后進行了調整。最終的矩陣和矩陣（如下所示）為對角矩陣，分別對狀態(tài)和指令進行懲罰。每個對角線條目均為(1/與平衡值的最大可接受偏差)

輸入形式為，其中是無限視距LQR 問題的解。閉環(huán)系統(tǒng)的形式為：

請注意，所需的漂移平衡（使用單軌模型、Fiala 輪胎模型和車輛的估計參數計算）可能不是真實系統(tǒng)的實際平衡。漂移中的建模和參數錯誤比比皆是，因為輪胎在測試過程中會發(fā)熱并脫落橡膠，從而產生與模型中假設的靜態(tài)值不同的變化。如果計算出的平衡不是系統(tǒng)的真正平衡，則此控制器無法校正穩(wěn)態(tài)誤差。因此，這種方法應該預料到穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差。然而，特征結構的一致性表明，這種參數變化不會對系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性產生重大影響。稍后介紹的實驗研究了即使使用簡單的控制器設計，特征結構一致性是否足以處理實際參數的變化。