線性化適當(dāng)性的最后一個測試是查看線性化系統(tǒng)是否以直觀的方式響應(yīng)增益變化。微調(diào) LQR 控制器的一種方法是選擇與平衡值的最大可接受偏差相對應(yīng)的協(xié)方差，如 （14） 和 15 所示。對于輸入，與平衡值的最大可接受偏差本質(zhì)上是最大可接受反饋。

由于更改了Q矩陣或R矩陣調(diào)整所有增益，一個簡單的測試是改變一個輸入的最大可接受反饋，看看閉環(huán)系統(tǒng)是否用另一個輸入進行補償。圖 16 和圖 17 顯示了在 的最大可接受反饋沿軌跡變化時穩(wěn)定平衡的實驗結(jié)果。代表最大可接受反饋值的每個協(xié)方差對應(yīng)的增益在大約一圈內(nèi)保持不變。每幅圖中的垂直線表示增益發(fā)生變化的時間。實驗顯示，所有其他和項保持不變，包括最大可接受反饋.

圖 16.當(dāng)跟蹤各種最大可接受反饋值的單個平衡時，轉(zhuǎn)向和油門輸入.頂部兩個圖以紅色顯示輸入命令，平衡值為黑色虛線。每個圖中的垂直線表示何時改變。底部圖顯示了。請注意，作為增加，則命令增加和命令減少。

圖 17.狀態(tài)跟蹤性能，用于跟蹤各種最大可接受反饋值的單個平衡.通過 LQR 控制的四種狀態(tài)以藍色表示測量值，以黑色虛線表示平衡值。每條垂直線表示.的四個不同的最大可接受反饋值分別為 500 N、1000 N、2500 N 和 3500 N，如圖 16 的最底部圖所示。

由于 LQR 設(shè)計中的所有權(quán)重都是相對的，減少一個輸入的最大可接受反饋量將要求控制器更加依賴另一個輸入。實驗結(jié)果恰恰證明了使用和以穩(wěn)定車輛。如圖 16 所示，隨著最大可接受反饋值的增加，指令的可變性增大，而  指令的可變性減小。只需調(diào)整矩陣的一個元素，控制器就能做出直觀的響應(yīng)。

圖 17 顯示了 R 矩陣調(diào)整實驗中的四種 LQR 狀態(tài)。在的四個不同的最大可接受反饋值中，則第一個最大可接受反饋值似乎過低。由于控制器需要更多的來減小狀態(tài)誤差，因此該部分的四個狀態(tài)誤差都較大。隨后的三個最大可接受反饋值產(chǎn)生了令人滿意的狀態(tài)跟蹤結(jié)果。因此，決定的最大可接受反饋值僅僅是兩個輸入指令所需的可變性問題，可以在此范圍內(nèi)任意選擇一個值。

   Ⅵ 討論    

與其他跟蹤所需準平衡路徑 [6]、[5] 的漂移控制器相比，該控制器可實現(xiàn)更準確的路徑跟蹤結(jié)果，特別是要低得多的 RMS 橫向路徑跟蹤誤差。Goh 等人實現(xiàn)了 18 cm 的 RMS 跟蹤誤差 [5]，Goel 等人實現(xiàn)了 42 cm 的 RMS 跟蹤誤差 [6]，而該控制器的 RMS 跟蹤誤差僅為 3.7 cm。我們介紹的方法的優(yōu)勢在于線性模型控制技術(shù)的廣泛應(yīng)用。雖然 Goh 和 Goel 依賴于非線性模型和特別選擇的誤差動態(tài)，而這里開發(fā)的控制器是一個基于線性模型的 LQR 控制器，外加一個比例反饋加前饋回路。LQR 技術(shù)無需嚴格遵守任意誤差動態(tài)，因此會產(chǎn)生更好的跟蹤結(jié)果。此外，這種簡單明了的控制器還便于直觀地選擇和調(diào)整輸入權(quán)重。

圖 18 顯示了 [5] 中描述的非線性控制器與此處開發(fā)的線性控制器之間的更直接比較。實驗從非線性控制器開始，然后在大約 23.4 秒時切換到線性控制器。雖然此數(shù)據(jù)集開始時使用的非線性控制器成功地實現(xiàn)并保持了所需的狀態(tài)，但當(dāng)線性控制器接手時，路徑跟蹤會得到顯著提高。采用線性設(shè)計后，路徑跟蹤性能得到了明顯改善。相比之下，在非線性控制器中，增益選擇與路徑跟蹤之間的聯(lián)系就不那么清晰了。正是由于這種清晰性，我們才能為簡單的 LQR 控制器找到一組線性增益，從而使其性能優(yōu)于基準非線性控制器。

圖 18. 用于跟蹤平衡軌跡的不同控制器的比較。藍色線表示測量值，黑色虛線表示平衡值。實驗開始使用 [5] 中描述的非線性控制器，然后在洋紅色垂直線指示的時間切換到本文中描述的線性控制器。

 Ⅶ 結(jié)論和未來工作    

漂移平衡點附近相當(dāng)大的區(qū)域內(nèi)的動力學(xué)可以用線性化動力學(xué)進行合理的近似。這就允許使用經(jīng)典的線性控制技術(shù)（如 LQR）來精確控制漂移車輛的狀態(tài)和軌跡。

未來工作的一個方向是將執(zhí)行器動力學(xué)納入車輛模型。并非車輛上的所有系統(tǒng)--發(fā)動機、制動器和轉(zhuǎn)向系統(tǒng)--都以相同的速率響應(yīng)。將執(zhí)行器動態(tài)納入模型可避免執(zhí)行器之間的相互影響，并有可能帶來更好的結(jié)果。用于演示該控制器的車輛是電動的，可以提供近乎瞬時的扭矩；但內(nèi)燃車輛在提供必要扭矩時會有不可忽略的延遲。這可能需要額外的建模，特別是完成更多的瞬態(tài)機動。為了捕捉內(nèi)燃機的動態(tài)，我們可能需要增加狀態(tài)矢量，將輪速或發(fā)動機速度包括在內(nèi)，然后在內(nèi)燃機車輛上測試這種新控制器。

這里介紹的線性化模型也可以在模型預(yù)測控制 (MPC) 框架中實施。由于我們已經(jīng)證明，在對非線性系統(tǒng)進行線性化后，我們可以對其進行控制，因此我們現(xiàn)在可以使用許多與非線性系統(tǒng)不兼容的分析工具。在這里，線性化模型將使我們能夠研究不確定性；管控 MPC 是量化不確定性并提出相關(guān)主張的一個可能途徑。此外，如果我們將縱向速度作為一個狀態(tài)，并將制動力作為一個輸入，則可以使用 MPC 框架來獲得對縱向速度的更多控制。

該控制器實現(xiàn)的狀態(tài)和路徑跟蹤精度表明，漂移并不是需要避免的狀態(tài)空間區(qū)域。通過實施基于線性化模型的控制器，我們?nèi)〉昧吮仁褂酶鼜?fù)雜的非線性模型開發(fā)的控制器更好的路徑跟蹤結(jié)果。對于漂移車輛的控制，我們還有很多需要了解的地方，這里介紹的線性化模型是我們在了解并最終利用狀態(tài)空間的這一不穩(wěn)定區(qū)域方面邁出的重要一步。

 附錄   

力計算

由于無法直接測量輪胎受力，我們對輪胎受力進行了如下估算。

我們使用輪胎縱軸與 Goh 等人在 [5] 中定義的總力矢量之間的夾角作為推力角，將后軸上的總力分解為縱向力和橫向力。推力角是當(dāng)前狀態(tài)的函數(shù)，包括后輪速度和包括后輪半徑在內(nèi)的車輛參數(shù)。

為了通過推力角將輪胎力聯(lián)系起來，我們假設(shè)后輪胎在滑動時。然后我們計算后輪的橫向和縱向力

重新排列運動方程 (1)-(3)，我們就得到了一個由三個方程和兩個未知數(shù)組成的線性方程組。

使用 MATLAB 中的 Savitzky-Golay 濾波器計算、和 的導(dǎo)數(shù)。

參考文獻

責(zé)編丨高炳釗