1、接觸分析的挑戰(zhàn)性
接觸是在固體力學(xué)各個領(lǐng)域中普遍存在的問題。對自然界中許多物理問題的描述都涉及接觸現(xiàn)象。例如零部件裝配時的配合，橡膠密封元件的防漏，輪胎與地面的相互作用，撞擊問題以及壓力加工行業(yè)的大量成型工藝過程等。

接觸過程中兩個物體在接觸界面上的相互作用是復(fù)雜的力學(xué)現(xiàn)象，同時也是它們損傷直至失效破壞的重要原因。從力學(xué)分析角度看，接觸是邊界條件高度非線性的復(fù)雜問題，需要準(zhǔn)確追蹤接觸前多個物體的運動以及接觸發(fā)生后這些物體之間的相互作用，同時包括正確模擬接觸面之間的摩擦行為和可能存在的接觸間隙傳熱。其中極少數(shù)的接觸問題可以解析處理，絕大多數(shù)接觸問題只能采用有限元、離散元、邊界元等數(shù)值方法進(jìn)行模擬，其中有限元法的應(yīng)用最為廣泛。對接觸全過程進(jìn)行有限元仿真，現(xiàn)在不僅可以實現(xiàn)，而且正逐步成為CAE/CAM的重要組成部分。

在實際工程中，有限元接觸分析的計算結(jié)果經(jīng)常用于對某些設(shè)計參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，例如對輪胎進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化以提高安全性和壽命。如果采用基于梯度的優(yōu)化算法，需要得到力學(xué)變量（位移、應(yīng)力、接觸反力分布狀況等）相對于設(shè)計參數(shù)（材料、尺寸、形狀、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)等）的變化曲線和相應(yīng)的敏度（梯度）。對于無摩擦接觸情況，現(xiàn)有的有限元接觸算法，例如拉氏乘子法、罰函數(shù)法等，能夠得到足夠穩(wěn)定的敏度數(shù)據(jù)；但是對于有摩擦接觸情況，如果不采取一些特殊的處理，則很難得到穩(wěn)定的數(shù)值結(jié)果，梯度的數(shù)值通常隨載荷和網(wǎng)格的改變而發(fā)生劇烈的振蕩，不具備可用性。

雖然接觸力學(xué)和相關(guān)的數(shù)值方法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工程開發(fā)和科學(xué)研究，但對于接觸和摩擦的物理機(jī)制，目前尚未有完全的理解。

從工程的觀點來看，計算機(jī)技術(shù)和計算方法的發(fā)展，使我們能夠更精確的分析接觸問題以適應(yīng)工程需要。對接觸問題的仿真和模擬在工程設(shè)計的多個方面已經(jīng)發(fā)揮了重要的作用，例如減少磨損、降低噪聲和提高安全性等。

但從科研的觀點來看，現(xiàn)有的接觸數(shù)值算法流程過于復(fù)雜，需要耗費大量的內(nèi)存空間和計算時間，一般經(jīng)過反復(fù)的校核、修正才有可能得到符合實際情況的計算結(jié)果。迄今為止，對于帶摩擦的接觸分析，當(dāng)前各種商用有限元軟件經(jīng)常不能給出精確可靠的結(jié)果。開發(fā)穩(wěn)定、高效、健壯的接觸算法仍然是一個亟待解決的問題。

以上挑戰(zhàn)性不僅來自接觸過程中復(fù)雜的變形和受力狀況，更主要的原因是接觸界面的邊界條件非線性。

接觸界面的非線性來源于兩個方面：

(1) 接觸界面事先未知。接觸界面的區(qū)域大小和相互位置以及接觸狀態(tài)不僅事先都是未知的，而且是隨時間變化的，需要在求解過程中確定。

(2) 接觸條件的非線性。接觸條件的內(nèi)容包括：兩個互相接觸的物體不可相互侵入；接觸力的法向分量只能是壓力；切向接觸的摩擦條件。這些條件區(qū)別于一般約束條件，其特點是單邊性的不等式約束，具有強(qiáng)烈的非線性。

接觸界面的事先未知性和接觸條件的不等式約束決定了接觸分析過程需要經(jīng)常插入對接觸區(qū)域的搜索，需要多次迭代求解以確定接觸壓力和摩擦力。

另外，接觸過程常常涉及材料非線性和幾何非線性。例如，汽車輪胎與路面的接觸是接觸力學(xué)中最典型的實際工程問題，進(jìn)行數(shù)值模擬時，必須考慮由于大變形引起的幾何非線性，為得到可靠的計算結(jié)果，還應(yīng)使用復(fù)雜的非線性材料本構(gòu)關(guān)系。因此，通常要求有限元接觸算法具備同時處理三種非線性（材料、幾何、邊界條件非線性）的能力。

2、接觸問題的約束條件

2.1 不可貫入性
如圖1，考慮兩個物體BI(I=A,B)互相接觸的情況，物體所占據(jù)空間域為ΩI∈R3。物體BI的表面ΓI由三部分組成：ΓσI上面力已知；ΓuI上位移已知；ΓcI則是兩個物體的接觸面。

圖1 接觸體之間的法向間隙

接觸物體在運動學(xué)方面需要滿足不可貫入性要求，不可貫入性是指物體BA和BB的位形在變形和運動過程中不允許相互貫穿（侵入和覆蓋），可用下式表達(dá)：

式中，xI(I=A,B)指的是物體BI上表面各點對應(yīng)于變形后位形的坐標(biāo)，即歐拉坐標(biāo)：

式中，nA是物體BA表面的外法線方向單位矢量。假定接觸邊界描述了一個局部外凸的區(qū)域，我們可以將ΓB上的任一點xB與ΓA上的某一點相關(guān)聯(lián)。?A(x頭上兩點代表-，下同)是物體BA表面上距離xB最近的點，參見圖1，二者距離用下式表示

該距離可用于定義接觸體BA和BB之間的法向間隙。

如果?A已知，不可貫入條件可用以下不等式約束來表示

對于變形體與剛性表面接觸的情況，上式仍然成立，此時xA≡XA，nA≡NA。