液體晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)的建模方法大致可分為準(zhǔn)靜態(tài)建模、解析建模方法、數(shù)值建模方法和機(jī)械等效力學(xué)模型。下面分別介紹。

1.  準(zhǔn)靜態(tài)模型（穩(wěn)態(tài)模型）

準(zhǔn)靜態(tài)模型(Q-S)假設(shè)液體自由表面始終為平面，即液體表面只產(chǎn)生由車輛離心力和慣性力作用引起的液面傾角，而沒有波動(dòng)。對(duì)于液罐車，在坡道、加/減速、轉(zhuǎn)向時(shí)液面形態(tài)如下圖所示，傾角具體計(jì)算公式為



坡道時(shí)



2.  解析模型

液體晃動(dòng)解析解，是針對(duì)特殊形狀容器的小幅液體晃動(dòng)，基于線性勢流理論，將流體力學(xué)控制方程化為速度勢的拉普拉斯方程，并考慮線性化邊界條件，采用分離變量法得到速度勢特征函數(shù)和特征頻率的解析解。

對(duì)于非線性液體晃動(dòng)問題的理論研究，也需要做勢流假設(shè)，但其自由液面不能再做線性化處理，液體晃動(dòng)各階頻率也不是常數(shù)。非線性問題通常是先得到無窮維模態(tài)系統(tǒng)，再將無窮維模態(tài)系統(tǒng)降為有限維漸近模態(tài)系統(tǒng)，從而可以進(jìn)行多尺度法分析或直接數(shù)值求解
液體非線性晃動(dòng)問題的理論研究只適用于簡單容器，要達(dá)到工程應(yīng)用的程度，還需要與有限元、邊界元等數(shù)值方法相結(jié)合。另外，這些理論方法主要用于研究液面不至于破碎的有限幅晃動(dòng)問題。對(duì)于液面出現(xiàn)破碎的大幅晃動(dòng)問題、流體黏性較大或液位較淺等情況，就只能借助數(shù)值方法或?qū)嶒?yàn)方法。

3.  數(shù)值模型

流體數(shù)值計(jì)算方法可用于自由面流體大幅晃動(dòng)問題的求解。計(jì)算流體力學(xué)是指采用數(shù)值求解技術(shù)，對(duì)流體動(dòng)力學(xué)控制方程進(jìn)行數(shù)值離散求解，進(jìn)而得到指定邊界條件和初始條件下的數(shù)值解。隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算速度的提高，計(jì)算流體力學(xué)發(fā)展迅速。

采用數(shù)值方法求解液體晃動(dòng)問題，首先需要建立流體動(dòng)力學(xué)控制方程；然后在空間和時(shí)間域上對(duì)控制方程進(jìn)行離散，得到離散方程，根據(jù)離散化方法的不同，分為有限差分法、有限元方法、有限體積法等；然后對(duì)離散方程進(jìn)行求解，離散方程的求解方法可分為兩類——分離解法和耦合解法，分離解法所需內(nèi)存小，其中應(yīng)用最廣泛的是壓力修正法

罐內(nèi)液體晃動(dòng)屬于低速、不可壓縮流動(dòng)，通常采用基于壓力的有限元方法。但液體晃動(dòng)問題屬于氣-液兩相流問題，采用傳統(tǒng)有限元研究單相流的晃動(dòng)，存在網(wǎng)格扭曲和建模困難等問題，對(duì)自由液面流動(dòng)、罐體與液體動(dòng)邊界的計(jì)算精度不高。因此，需要結(jié)合對(duì)液體自由液面的追蹤提高計(jì)算精度，追蹤自由液面的方法有標(biāo)記粒子法MAC、流體體積方法 VOF、浮標(biāo)接力方法 BRM 等追蹤液體自由表面的方法。VOF 方法在研究三維液體瞬態(tài)流動(dòng)特性方面得到了廣泛應(yīng)用，該方法在模擬液體大幅非線性晃動(dòng)時(shí)有著較高的精度。

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4.  等效力學(xué)模型

在充液系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析和控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，通常希望用簡單高效的力學(xué)模型計(jì)算代替比較復(fù)雜費(fèi)時(shí)的晃動(dòng)流場計(jì)算。液體晃動(dòng)等效力學(xué)模型是根據(jù)一定等效原則，建立與原液體系統(tǒng)具有相同力學(xué)特性且結(jié)構(gòu)更為簡單的系統(tǒng)，從而更省時(shí)有效地進(jìn)行液體晃動(dòng)的計(jì)算。相比準(zhǔn)靜態(tài)模型計(jì)算快速方便但不能反映液體瞬態(tài)特性，數(shù)值模型雖適用于更大幅度晃動(dòng)、有更高的精度但計(jì)算復(fù)雜實(shí)時(shí)性差的特點(diǎn)，等效力學(xué)模型一方面能在一定程度上反映液固耦合系統(tǒng)的晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)特性，另一方面也能進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，且無需太多計(jì)算資源，因此是工程中模擬液體晃動(dòng)的常用方法。

等效力學(xué)模型構(gòu)建的等效原則一般為：

（1）等效模型與原液體晃動(dòng)的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量相等；

（2）小幅振動(dòng)時(shí)重心不變；

（3）所要求的各階模態(tài)和阻尼相等；

（4）強(qiáng)迫激勵(lì)下相應(yīng)階模態(tài)的晃動(dòng)力和力矩相等。

根據(jù)該等效原則，就可以針對(duì)不同情況，確定液體晃動(dòng)的等效力學(xué)模型參數(shù)。等效力學(xué)模型參數(shù)可以由理論分析計(jì)算得到，也可以通過實(shí)驗(yàn)測算來確定。

一般提到的液體晃動(dòng)的等效力學(xué)模型指的是在液體作小幅晃動(dòng)時(shí)導(dǎo)出的等效力學(xué)模型，通?？煞譃槿悾簭椈?質(zhì)量模型（下圖(a)），擺模型（下圖(b)）及基于凸輪軸和其他復(fù)雜機(jī)械原理的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)模型。彈簧-質(zhì)量模型只能描述某個(gè)方向的液體晃動(dòng)，擺模型則是描述某個(gè)方向或軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)的液體晃動(dòng)。擺模型的優(yōu)點(diǎn)在于其自然頻率能夠隨加速度變化而變化，且能描述大幅晃動(dòng)。美國Wayne State University的Ibrahim R A等人指出，采用擺模型進(jìn)行罐內(nèi)液體晃動(dòng)的研究，需要確定的各工況液體晃動(dòng)的模態(tài)參數(shù)有：頻率、擺長、晃動(dòng)質(zhì)量、懸掛點(diǎn)位置、靜止部分質(zhì)量和位置等。



外部激勵(lì)的強(qiáng)弱，導(dǎo)致了晃動(dòng)的強(qiáng)弱不同，據(jù)此，采用等效單擺模型模擬液體一階晃動(dòng)模態(tài)可分為三種情況：

(1)小振幅晃動(dòng)：液面保持為平面且無節(jié)徑旋轉(zhuǎn)，這時(shí)一階晃動(dòng)模態(tài)可以用線性方程描述為的擺。

(2)相對(duì)大幅晃動(dòng)：自由液面呈現(xiàn)非平面運(yùn)動(dòng)，但液體表面并未發(fā)生破碎，這時(shí)可用弱非線性微分方程描述，并通過攝動(dòng)技術(shù)進(jìn)行分析，等效模型可描述為的擺，同時(shí)需要采用復(fù)合擺來模擬非平面和旋轉(zhuǎn)晃動(dòng)。

(3)強(qiáng)非線性晃動(dòng)：由于速度的快速變化，臨近自由液面的液體動(dòng)水壓力增加，自由液面發(fā)生破碎現(xiàn)象，這給系統(tǒng)帶來各種不同的強(qiáng)非線性特性，簡單的機(jī)械模型已經(jīng)無法很好地描述液體沖擊行為，這種模態(tài)的等效模型需要多個(gè)相同或不同的等效模型以及對(duì)沖擊響應(yīng)的描述進(jìn)行非線性組合。

對(duì)比以上模型，準(zhǔn)靜態(tài)模型能夠反映穩(wěn)態(tài)特性，計(jì)算快速方便，但不能反映液體瞬態(tài)特性；等效力學(xué)模型一定程度上能反映液體晃動(dòng)特性，還能進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，但建立等效模型所需的模型參數(shù)計(jì)算復(fù)雜、模型通用性差，且目前的等效模型只適用于液體小幅線性晃動(dòng)的情況；液體數(shù)值模型能夠準(zhǔn)確描述罐內(nèi)液體晃動(dòng)瞬態(tài)特性，但數(shù)值模擬計(jì)算復(fù)雜，不適合于實(shí)時(shí)計(jì)算。各種液體模型各有優(yōu)缺點(diǎn)，建立模型時(shí)究竟采用哪種液體建模方式要根據(jù)問題的要求確定。