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汽車可靠性試驗中的置信度概念

2022-01-09 21:15:40·  來源：模態(tài)空間  作者：王朋波  
　
01、概述在汽車開發(fā)過程中，需要進行整車及部件的可靠性試驗。所謂可靠性，指的是零件或系統(tǒng)在在規(guī)定條件下和規(guī)定時間內(nèi)，完成（或保持）規(guī)定功能的能力?？煽啃?/div>
01、概述
在汽車開發(fā)過程中，需要進行整車及部件的可靠性試驗。所謂可靠性，指的是零件或系統(tǒng)在在規(guī)定條件下和規(guī)定時間內(nèi)，完成（或保持）規(guī)定功能的能力。
可靠性試驗中經(jīng)常遇到的一個問題是，如何在樣本容量和試驗時間（試驗成本）之間進行平衡。即便是同種零件，它們之間仍然不會完全一致。我們無法對所有的零件都進行試驗，只能從總體中抽取出一定容量的樣本進行測試。為了從有限容量樣本的信息中提取出總體參數(shù)，需要使用統(tǒng)計學領(lǐng)域的一些理論。
利用統(tǒng)計學方法進行總體估計通常有兩種方法。一種叫做點估計，即使用單個數(shù)值來表示總體參數(shù)的估計值。另一種叫做區(qū)間估計，即利用樣本數(shù)據(jù)來確定總體參數(shù)的一個估值區(qū)間，這個區(qū)間叫做置信區(qū)間，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的概率就叫做置信度。
汽車行業(yè)常用的可靠性指標有平均壽命、可靠度、故障率等等。平均壽命是最常見的指標，它是一種總體均值；故障率則是一種總體比例。我們也經(jīng)常用可靠度的概念來量化零件或系統(tǒng)的可靠性，可靠度指的是零件或系統(tǒng)在規(guī)定條件下和規(guī)定時間里能完成規(guī)定功能的概率，一般用 來表示?？煽慷? 通常隨時間遞減，將時間 作為變量，則有可靠度函數(shù) 。
如果我們要根據(jù)樣本的平均壽命和可靠度來估算總體的平均壽命和可靠度，就需要與置信度建立關(guān)聯(lián)。
02、抽樣分布與總體參數(shù)估計

我們通常關(guān)心的是總體參數(shù)，例如總體的均值、方差和比例等等。但是可靠性試驗不可能覆蓋所有的零件，只能從總體 個零件中抽取 個零件作為樣本，利用樣本提供的信息來推斷總體特征。重復(fù)選取容量為 的樣本時，由每一個樣本算出的統(tǒng)計量數(shù)值的概率分布，稱為樣本統(tǒng)計量的抽樣分布。

從均值為 μ 、方差為 σ 的正態(tài)或非正態(tài)總體中，抽取樣本量為 的隨機樣本，當 充分大時（通常要求大于30），樣本均值 的分布近似服從數(shù)學期望為 μ ，方差為 σ 的正態(tài)分布。這就是統(tǒng)計學中著名的中心極限定理，可表示為下式
μσ 需要注意的是，如果總體不是正態(tài)分布，當 為小樣本時，樣本均值并不服從正態(tài)分布。
在研究總體特征時，不僅有均值估計，也有比例估計，即用樣本比例計算總體比例。所謂比例，指的是總體（或樣本）具有某種屬性的零件數(shù)目與總體（或樣本）所有零件數(shù)目之比。可靠度指的是在規(guī)定條件下和規(guī)定時間里能夠完成規(guī)定功能的零件在總體所有零件中的占比，所以可靠度實質(zhì)也是一種比例。
樣本比例所有可能取值的概率分布就叫做樣本比例的抽樣分布。當樣本量足夠大時（對于樣本比例 ，當 大于5，即可認為樣本量足夠大），樣本比例f的抽樣分布可近似為正態(tài)分布。樣本比例f的數(shù)學期望就等于總體比例 π ， 的方差為 σππ 。即
πππ
03、區(qū)間估計與置信度

我們用樣本統(tǒng)計量去估算總體參數(shù)，例如用樣本均值去估算總體均值，用樣本比例去估算總體比例，用樣本方差去估算總體方差，通常用樣本統(tǒng)計量加減抽樣誤差來給出總體參數(shù)的一個估值范圍，這就叫做總體參數(shù)的區(qū)間估計。

我們以總體均值的區(qū)間估計為例來討論。對于樣本量足夠大的隨機樣本，樣本均值 的數(shù)學期望為總體均值 μ ，樣本均值的標準誤差為 σσ ，服從正態(tài)分布，如圖1。根據(jù)正態(tài)分布的基本特征可得出 落在 μ 兩側(cè)任何倍數(shù)標準誤差范圍內(nèi)的概率。例如， 落在 μ 兩側(cè)各 σ 范圍內(nèi)的概率為95.45%。


圖1 樣本均值的正態(tài)分布
實際操作時情況恰好相反，我們知道 但不知道 μ 。好在 和 μ 的距離對稱，如果 落在 μ 兩側(cè)各 σ 范圍內(nèi)，則 μ 也就落在 兩側(cè)各 σ 范圍內(nèi)。也就是說，用樣本均值構(gòu)造的兩側(cè)各 σ 的區(qū)間中（可以有無窮多個樣本均值，構(gòu)造出無窮多個區(qū)間），有95.45%的區(qū)間是包含總體均值的，其它區(qū)間不包含總體均值。


圖2 總體均值區(qū)間估計示意
這樣我們就得到了置信區(qū)間和置信度的定義：
  • 由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間，稱為置信區(qū)間，區(qū)間的最小值和最大值分別叫做置信下限和置信上限。
  • 重復(fù)多次構(gòu)造置信區(qū)間，置信區(qū)間中包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率，稱為置信度，也叫做置信水平。
  • 置信水平一般用 來表示，其中 叫做顯著性水平。例如置信水平為90%時，顯著性水平 。
04、假設(shè)檢驗與顯著水平

我們在進行可靠性試驗時，不僅要對總體特征進行區(qū)間估計，有時還需要進行假設(shè)檢驗。所謂假設(shè)檢驗，就是首先提出一個對總體參數(shù)的假設(shè)，然后根據(jù)樣本觀察值對這個假設(shè)進行判斷，決定是接受還是拒絕原假設(shè)。

例如某種零件的技術(shù)指標要求其平均壽命達到100小時（原假設(shè)）。我們隨機抽取一批零件構(gòu)造一個樣本，壽命測試發(fā)現(xiàn)樣本每個零件的壽命都不到10小時，與指標要求相距太遠，就認為該種零件壽命未達到指標要求（即拒絕原假設(shè)）。
假設(shè)檢驗的基本思想是統(tǒng)計學的小概率反證法，即認為小概率事件在一次試驗中不應(yīng)當發(fā)生。因此首先假定原假設(shè) 成立，然后基于此假定來計算出現(xiàn)當前樣本觀察值的概率是多少。如果計算出的概率很小，就認為出現(xiàn)了小概率事件，因此拒絕原假設(shè) 。
在上面的關(guān)于零件平均壽命的例子中，我們拒絕了原假設(shè)。實際上也有存著這么一種可能：零件總體平均壽命已經(jīng)達到100小時，只是我們湊巧選取了壽命最低的那一批零件作為樣本，因此樣本中各零件的壽命都不到10小時，導(dǎo)致我們做出了錯誤的判斷。
我們是依據(jù)一個樣本做出的判斷，在 為真時，我們?nèi)匀豢赡茏龀鼍芙^ 的判斷，這叫做棄真錯誤。出現(xiàn)棄真錯誤的概率表示為
拒絕為真
我們無法完全排除棄真錯誤，但是我們會要求將犯錯概率控制在一個很小的數(shù)值 之內(nèi)，即
拒絕為真
上式中的 為顯著性水平， 就是我們做出的拒絕 這個判斷的置信度。
指定了顯著性水平 ，就意味著出現(xiàn)棄真錯誤的概率最大為 ，這樣我們可以計算出一個觀察值（檢驗統(tǒng)計量）的取值區(qū)間，當觀察值在這個區(qū)間內(nèi)時，我們就拒絕原假設(shè)。這個取值區(qū)間叫做拒絕域。有關(guān)拒絕域的詳細講解可參考數(shù)理統(tǒng)計領(lǐng)域的資料，本文不再贅述。
我們不僅可以根據(jù)拒絕域進行決策，也可以利用 值進行決策。式(4)中的 值可以理解為當原假設(shè)正確時，得到所觀測數(shù)據(jù)的概率。我們計算出 值，然后跟顯著性水平 進行比較，當 ，即拒絕原假設(shè) ，否則就不拒絕原假設(shè) 。
利用拒絕域進行決策，我們只是確認了犯棄真錯誤的概率小于 ，但并未確認犯錯的概率究竟有多少，而 值則給出了我們犯錯的實際概率。因此 值方法目前基本上取代了傳統(tǒng)的拒絕域方法。
05、零件可靠度的二項檢驗法
我們在驗證零件的可靠度時，就是利用 值進行決策。零件的可靠度檢驗經(jīng)常采用二項檢驗法，每個零件只有“成功/失效”兩種檢驗結(jié)果，零件達到了最低指標要求就是成功的，否則就是失效的。
如果零件的可靠度為 ，一共檢驗了 個零件。則指定的 個零件失效，其它 個零件成功的概率為 ?？紤]到這樣的指定方式共有 種，則可知試驗中出現(xiàn) 個零件失效的概率為
進一步可知試驗中出現(xiàn)的零件失效數(shù)目 的概率為
我們設(shè)定一個假設(shè) ：零件的可靠度 。我們認為在可靠度小于 的條件下，不應(yīng)該只有 個零件失效，因此試圖否定原假設(shè) 。
如果假設(shè) 為真，即零件的可靠度 ，則根據(jù)式（6）可知，零件失敗數(shù)目 的概率即我們犯棄真錯誤的概率為
對于預(yù)先指定的顯著性水平 或置信度 ，只要滿足
則必然有 ，我們就可以拒絕原假設(shè)，即得出零件的可靠度 的結(jié)論。
對于沒有發(fā)生失效 的特殊情況，式（8）變?yōu)?/span>
如果我們要驗證置信度為 時某種零件是否具有R可靠性，可以根據(jù)式（9）計算無失效時的樣本容量 。我們抽取了 個零件都未發(fā)生失效，才可認為該種零件在置信度為 時具有 可靠性。
06、小結(jié)

1)在可靠性試驗中，我們關(guān)心零件或系統(tǒng)的總體參數(shù)，但是可靠性試驗不可能覆蓋所有的零件，只能從總體 個零件中抽取 個零件作為樣本，利用樣本提供的信息來推斷總體特征。

2)通常用樣本統(tǒng)計量加減抽樣誤差來給出總體參數(shù)的一個估值范圍，這就叫做總體參數(shù)的區(qū)間估計。由樣本統(tǒng)計量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計區(qū)間，稱為置信區(qū)間。
3)重復(fù)多次構(gòu)造置信區(qū)間，置信區(qū)間中包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率，稱為置信度，也叫做置信水平。置信水平一般用 來表示，其中 叫做顯著性水平。
4)我們在進行可靠性試驗，有時需要進行假設(shè)檢驗。所謂假設(shè)檢驗，就是首先提出一個對總體參數(shù)的假設(shè)，然后根據(jù)樣本觀察值對中這個假設(shè)進行判斷，決定是接受還是拒絕原假設(shè)。假設(shè)檢驗的基本思想是統(tǒng)計學的小概率反證法。
5)對于假設(shè)檢驗，顯著性水平和置信水平的定義略有變化。此時顯著性水平指的是在原假設(shè)為真時，我們作出了拒絕原假設(shè)判斷的概率的預(yù)設(shè)上限值。即棄真錯誤概率預(yù)設(shè)上限。
6)對于假設(shè)檢驗結(jié)果，我們不僅可以根據(jù)拒絕域進行決策，也可以利用P值進行決策。P值方法能夠給出犯錯實際概率，目前基本上取代了傳統(tǒng)的拒絕域方法。
7)零件的可靠度檢驗一般采用二項檢驗法，零件的檢驗結(jié)果服從二項分布，我們可以建立可靠度、樣本容量、置信水平和失效次數(shù)之間的關(guān)聯(lián)。
作者簡介
王朋波，清華大學力學博士，汽車結(jié)構(gòu)CAE分析專家。重慶市科協(xié)成員、《計算機輔助工程》期刊審稿人、交通運輸部項目評審專家。專業(yè)領(lǐng)域為整車疲勞耐久/NVH/碰撞安全性能開發(fā)與仿真計算，車體結(jié)構(gòu)優(yōu)化與輕量化，CAE分析流程自動化等。
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