在多個(gè)領(lǐng)域，為了避免共振都需要清楚地知道結(jié)構(gòu)的固有頻率。如果外界的激勵(lì)頻率接近或等于結(jié)構(gòu)的固有頻率，那么，結(jié)構(gòu)將發(fā)生共振現(xiàn)象，對(duì)于絕大多數(shù)應(yīng)用來(lái)說(shuō)，這都是有害的，需要避免。因此，清楚地知道結(jié)構(gòu)或部件的固有頻率是非常有必要的，那如何測(cè)量固有頻率呢？

01定義

結(jié)構(gòu)或部件在受到外界激勵(lì)產(chǎn)生振動(dòng)響應(yīng)時(shí)，將按特定頻率發(fā)生自然振動(dòng)，這個(gè)特定的頻率被稱(chēng)為結(jié)構(gòu)或部件的固有頻率，通常一個(gè)結(jié)構(gòu)或部件有多階固有頻率。固有頻率與外界激勵(lì)沒(méi)有關(guān)系，是結(jié)構(gòu)的一種固有屬性。不管外界有沒(méi)有對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行激勵(lì)，結(jié)構(gòu)的固有頻率都是存在的，只是當(dāng)外界激勵(lì)結(jié)構(gòu)時(shí)，結(jié)構(gòu)是按某一階或某幾階固有頻率產(chǎn)生振動(dòng)響應(yīng)。這時(shí)，我們說(shuō)結(jié)構(gòu)或部件的這一階或這幾階（模態(tài)）參與響應(yīng)。也可以這樣理解，烹飪時(shí)，做的每一盤(pán)佳肴都是取有限數(shù)目的食材，而實(shí)際的食材數(shù)目可以說(shuō)是無(wú)窮多的。只是這些有限數(shù)目的食材參與了這道佳肴。
對(duì)于無(wú)阻尼單自由系統(tǒng)而言，如圖1所示，固有頻率計(jì)算公式定義如下：  

圖1 無(wú)阻尼單自由度系統(tǒng)

單位為Hz，表示一秒鐘振動(dòng)循環(huán)次數(shù)。也可以用圓頻率（也稱(chēng)角頻率）來(lái)表示固有頻率，公式如下：

單位為rad/s。在這考慮的是無(wú)阻尼的情況，因此，獲得的固有頻率為無(wú)阻尼固有頻率。 對(duì)于一般性結(jié)構(gòu)系統(tǒng)而言，如圖2所示，都是有阻尼的，因此它的固有頻率為有阻尼固有頻率。無(wú)阻尼固有頻率與有阻尼固有頻率的關(guān)系如下：

圖2 有阻尼單自由度系統(tǒng)

假設(shè)阻尼比ξ=10%，則ωd=0.99499ωn，因此，阻尼對(duì)結(jié)構(gòu)的固有頻率影響有限，更何況現(xiàn)實(shí)世界中，除了含有主動(dòng)阻尼機(jī)制的結(jié)構(gòu)外，如減振器，一般結(jié)構(gòu)的阻尼比都遠(yuǎn)小于10%。通?，F(xiàn)實(shí)世界中測(cè)試所得到的固有頻率都是有阻尼固有頻率。以下沒(méi)有特殊說(shuō)明時(shí)，都是指有阻尼固有頻率。

固有頻率是結(jié)構(gòu)或部件模態(tài)參數(shù)（固有頻率、阻尼和模態(tài)振型）之一，因此，幾階固有頻率實(shí)旨上是指幾階模態(tài)。

02影響因素

從上面的公式，可以看出，結(jié)構(gòu)或部件的固有頻率只受剛度分布和質(zhì)量分布（注意，這里說(shuō)的是剛度分布與質(zhì)量分布，而不是剛度與質(zhì)量，這是因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)世界的結(jié)構(gòu)或部件都是一個(gè)彈性體或連續(xù)體，有多階固有頻率，而不是一個(gè)單自由度系統(tǒng)）的影響，而阻尼對(duì)固有頻率的影響非常有限。其他的參數(shù)會(huì)影響固有頻率，但最終都是通過(guò)影響這兩個(gè)參數(shù)來(lái)影響固有頻率的。譬如，材質(zhì)不同、材料屬性（密度、楊氏模量和泊松比等）不同、幾何尺寸不同、邊界條件不同等等，最終影響的參數(shù)都是質(zhì)量分布和剛度分布這兩個(gè)參數(shù)。因此，影響固有頻率的只有質(zhì)量分布和剛度分布，而非其他任何參數(shù)。 質(zhì)量增大，結(jié)構(gòu)的固有頻率必然降低；剛度增大，結(jié)構(gòu)的固有頻率必然增大。但是剛度繼續(xù)增大，固有頻率不會(huì)無(wú)限增大，只會(huì)使固有頻率增大一定距離。剛度增加越快，固有頻率移動(dòng)越慢。這是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的共振峰對(duì)應(yīng)的是固有頻率，剛度增大后，結(jié)構(gòu)的固有頻率會(huì)向上移動(dòng)靠近反共振峰，在《什么是動(dòng)剛度？》一文中曾講到，反共振峰對(duì)應(yīng)的剛度是無(wú)限大的。因此，剛度無(wú)限增大，結(jié)構(gòu)的固有頻率向上移動(dòng)不超過(guò)反共振峰對(duì)應(yīng)的頻率，所以剛度增大只能使固有頻率移動(dòng)一定距離，如圖3所示。

圖3  剛度增大只能使固有頻率移動(dòng)一定距離

03為什么有多階

在對(duì)結(jié)構(gòu)或部件進(jìn)行固有頻率測(cè)量時(shí)，通常能得到多階固有頻率，如圖4所示。在這個(gè)FRF圖中存在多個(gè)峰值，而每個(gè)峰值至少對(duì)應(yīng)一階固有頻率，因此，結(jié)構(gòu)存在多階固有頻率。那么，為什么結(jié)構(gòu)存在多階固有頻率呢？

圖4  某結(jié)構(gòu)的FRF
在高中物理課本中，我們?cè)鴮W(xué)習(xí)過(guò)彈簧-集中質(zhì)量的單自由度系統(tǒng)的固有頻率公式。如圖圖5左側(cè)所示。其運(yùn)動(dòng)方程為Asinωt（簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)），對(duì)應(yīng)一階固有頻率。對(duì)于兩自由度系統(tǒng)而言，如圖5中圖所示，運(yùn)動(dòng)方程是兩個(gè)正弦波的疊加，因而，對(duì)應(yīng)兩階固有頻率。同樣的道理，三自由度系統(tǒng)對(duì)應(yīng)三個(gè)正弦波，因而，有三階固有頻率。

圖5  從左到右：?jiǎn)巫杂啥认到y(tǒng)，兩自由度系統(tǒng)和三自由度系統(tǒng)
因此，“階”與自由度相對(duì)應(yīng)：1個(gè)自由度對(duì)應(yīng)1階固有頻率（或者是1階模態(tài)）。自由度是指用于確定結(jié)構(gòu)在空間運(yùn)動(dòng)所需要的最少的、獨(dú)立的坐標(biāo)個(gè)數(shù)。質(zhì)點(diǎn)有三個(gè)平動(dòng)自由度；剛體有六個(gè)自由度，分別為三個(gè)平動(dòng)和三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度。 一個(gè)連續(xù)體或彈性體實(shí)際上有無(wú)窮多個(gè)自由度，此時(shí)，任意連續(xù)結(jié)構(gòu)都可以看成是無(wú)限多個(gè)微剛體組成的，每個(gè)微剛體有6個(gè)自由度，因而，我們可以認(rèn)為任意連續(xù)結(jié)構(gòu)具有無(wú)限多個(gè)自由度，但是，這些結(jié)構(gòu)又可以近似地看作是由有限個(gè)微剛體組成的（比方有限元分析時(shí)只能劃分有限數(shù)量的單元），因此又可以認(rèn)為連續(xù)體結(jié)構(gòu)具有有限個(gè)自由度。該自由度數(shù)決定了解析質(zhì)量矩陣、剛度矩陣和阻尼矩陣的維數(shù)，也決定上理論上存在的固有頻率階數(shù)或模態(tài)階數(shù)。 雖然連續(xù)體理論上有無(wú)限多階固有頻率，但很多情況下我們只關(guān)心低階的固有頻率或者特定階的固有頻率。這是因?yàn)楣逃蓄l率越低，越容易被外界激勵(lì)起來(lái)。另外，結(jié)構(gòu)也可能受到特定的激勵(lì)，如在某恒定轉(zhuǎn)速下運(yùn)行，因此，也可能關(guān)心特定階的固有頻率。
雖然結(jié)構(gòu)有多階固有頻率，但很多情況下，可能指的是第一階固有頻率。因而，第一階固有頻率也稱(chēng)為基頻。

04與共振頻率的區(qū)別

 共振是指系統(tǒng)受到外界激勵(lì)時(shí)產(chǎn)生的響應(yīng)表現(xiàn)為大幅度的振動(dòng)，此時(shí)外界激勵(lì)頻率與系統(tǒng)的固有頻率相同或者非常接近。共振是一種現(xiàn)象，共振發(fā)生時(shí)的頻率稱(chēng)為共振頻率。不管共振發(fā)生與否，結(jié)構(gòu)的固有頻率是不變的，而只有當(dāng)外界的激勵(lì)頻率接近或等于系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，系統(tǒng)才發(fā)生共振現(xiàn)象。 當(dāng)結(jié)構(gòu)的阻尼非常小時(shí)，共振頻率近似等于結(jié)構(gòu)的固有頻率。發(fā)生共振時(shí)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)非常劇烈，這將導(dǎo)致不可預(yù)料的行為。因此，通常都要避免共振，但也有利用共振原理的，如振動(dòng)篩、微波爐。 當(dāng)激勵(lì)頻率與固有頻率相等或接近時(shí)，才發(fā)生共振。因而，共振頻率不一定完全與固有頻率相等，共振頻率是按外界的激勵(lì)頻率來(lái)講的，而固有頻率是從結(jié)構(gòu)來(lái)講的。雖然很多情況下，都認(rèn)為共振頻率就是固有頻率。 在頻響函數(shù)曲線(xiàn)中，共振峰對(duì)應(yīng)的頻率為結(jié)構(gòu)的固有頻率，如圖6所示。但很多情況，共振現(xiàn)象不是發(fā)生在單一頻率（固有頻率）處，而是具有一定寬度的共振帶。也就是存在一個(gè)頻率區(qū)間，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，系統(tǒng)很容易發(fā)生共振現(xiàn)象。

圖6  共振峰對(duì)應(yīng)固有頻率
在colormap圖中，經(jīng)?？梢钥吹饺鐖D7紅框所示的垂直于頻率軸的具有一定寬度的高亮區(qū)域，這個(gè)區(qū)域就是共振帶區(qū)域。這個(gè)區(qū)域一定是在結(jié)構(gòu)的某一階固有頻率附近。從圖7可以看出，共振區(qū)域并不隨轉(zhuǎn)速的變化而變化，而是始終垂直于頻率軸。這是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)的固有頻率是結(jié)構(gòu)的固有屬性，跟外界激勵(lì)沒(méi)有關(guān)系。

圖7  colormap中的共振帶

05避免共振，激勵(lì)頻率須離固有頻率多遠(yuǎn)

當(dāng)外界激勵(lì)頻率接近系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，系統(tǒng)會(huì)發(fā)生共振現(xiàn)象，那么，激勵(lì)頻率離固有頻率多遠(yuǎn)時(shí)，才能避免共振呢？或者說(shuō)，共振帶一般出現(xiàn)在固有頻率附近多寬的區(qū)域？ 在圖8左圖中，對(duì)同一個(gè)單自由度系統(tǒng)進(jìn)行激勵(lì)，但激勵(lì)頻率不同，紫色的激勵(lì)頻率是固有頻率的0.4倍，藍(lán)色的激勵(lì)頻率是固有頻率的1.01倍，紅色的激勵(lì)頻率是固有頻率的1.6倍。

圖8  對(duì)同一單自由度系統(tǒng)施加不同的激勵(lì)
從三個(gè)運(yùn)動(dòng)的幅值可以明顯看出，藍(lán)色振動(dòng)幅值最大，其次是紫色，最小的是紅色。系統(tǒng)相同，不同的僅是激勵(lì)頻率?；蛘哒f(shuō)激勵(lì)頻率不同，系統(tǒng)的響應(yīng)大不相同。當(dāng)激勵(lì)頻率接近固有頻率時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)幅值最大（出現(xiàn)共振現(xiàn)象）。也就是藍(lán)色的振動(dòng)幅值遠(yuǎn)大于其他兩個(gè)。因此，激勵(lì)頻率對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)有明顯影響。那么，激勵(lì)頻率離固有頻率多遠(yuǎn)才能避免共振呢？ 用懸置隔振這張圖（圖9）來(lái)說(shuō)明，縱軸為傳遞率，橫軸為激勵(lì)頻率與固有頻率之比。從圖中可以看出，傳遞率等于1時(shí)，對(duì)應(yīng)的激勵(lì)頻率與固有頻率之比為1.414，如圖中紅點(diǎn)所示。因此，只有當(dāng)激勵(lì)頻率大于固有頻率40%以上時(shí)才能起到避免共振的作用或者起到隔振的作用。但這是從隔振層次來(lái)說(shuō)的，如懸置為了滿(mǎn)足隔振要求，激勵(lì)頻率應(yīng)是動(dòng)力總成剛成模態(tài)頻率的2-3倍，即下圖中陰影區(qū)域。

圖9  懸置隔振
很多情況下，要考慮40%以上的頻率間隔，似乎是不現(xiàn)實(shí)的，因此，很難給出一定具體的數(shù)字來(lái)確定到底應(yīng)該須離固有頻率多遠(yuǎn)的距離。但是，也有一些行業(yè)普遍認(rèn)同的觀點(diǎn)，如在汽車(chē)行業(yè)，一般要求是距固有頻率有3Hz的間隔或者15%的距離。

06怎么測(cè)量

固有頻率是結(jié)構(gòu)的全局屬性，不會(huì)隨測(cè)量位置的變化而變化。因此，固有頻率測(cè)量時(shí)，理論上講，只需要在一個(gè)測(cè)量位置布置一個(gè)振動(dòng)傳感器即可測(cè)量出關(guān)心頻率范圍內(nèi)所有的固有頻率。因此，固有頻率測(cè)量時(shí)，至少需要在一個(gè)測(cè)量位置布置一個(gè)單向振動(dòng)傳感器進(jìn)行測(cè)量。

雖然理論上講，在一個(gè)位置安裝一個(gè)單向振動(dòng)傳感器就能測(cè)量出結(jié)構(gòu)所有階固有頻率，但是卻有一些現(xiàn)實(shí)方面的影響，導(dǎo)致測(cè)量存在問(wèn)題，這主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1）與測(cè)量位置有關(guān)。我們知道模態(tài)有節(jié)點(diǎn)，在布置模態(tài)參考點(diǎn)時(shí)，要求避開(kāi)關(guān)心的所有模態(tài)的節(jié)點(diǎn)位置。同樣的道理，固有頻率作為三個(gè)模態(tài)參數(shù)之一，同樣要遵循這樣的要求：響應(yīng)位置避開(kāi)關(guān)心模態(tài)的節(jié)點(diǎn)。從這一點(diǎn)來(lái)講，在進(jìn)行固有頻率測(cè)量時(shí)，應(yīng)多布置幾個(gè)響應(yīng)位置，或者說(shuō)多使用幾個(gè)振動(dòng)傳感器，且避免對(duì)稱(chēng)布置。

2）與激勵(lì)位置有關(guān)。如果采用測(cè)量FRF的方法進(jìn)行測(cè)量，那么，要求激勵(lì)位置也應(yīng)該避開(kāi)關(guān)心的所有模態(tài)的節(jié)點(diǎn)位置。這是因?yàn)槿绻?lì)位置是某階模態(tài)的節(jié)點(diǎn)位置，那么將激勵(lì)不起來(lái)這階模態(tài)，因而這階模態(tài)將不參與結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，導(dǎo)致這階模態(tài)在FRF曲線(xiàn)中不可見(jiàn)。也就是說(shuō)，對(duì)于固有頻率測(cè)量而言，要求激勵(lì)與響應(yīng)位置同時(shí)避開(kāi)模態(tài)節(jié)點(diǎn)位置。那么，應(yīng)激勵(lì)多個(gè)不同的位置，以防一個(gè)激勵(lì)位置是一階或多階模態(tài)的節(jié)點(diǎn)。

3）與結(jié)構(gòu)特點(diǎn)有關(guān)。如果結(jié)構(gòu)是一個(gè)強(qiáng)方向性模態(tài)（一階或多階模態(tài)響應(yīng)僅出現(xiàn)在某一個(gè)方向，而在其他方向幾乎沒(méi)有響應(yīng)）結(jié)構(gòu)，那么，如果只在一個(gè)方向布置一個(gè)單向傳感器，那么必將丟失其他方向的固有頻率。因此，對(duì)于具有強(qiáng)方向性模態(tài)的結(jié)構(gòu)而言，應(yīng)該在不同的方向布置測(cè)點(diǎn)，如在不同位置按不同布置單向振動(dòng)傳感器，或在同一位置布置三向振動(dòng)傳感器。

當(dāng)僅在結(jié)構(gòu)一個(gè)位置布置傳感器進(jìn)行測(cè)量時(shí)，由于各階模態(tài)的節(jié)點(diǎn)位置都是不相同的，因而，固有頻率測(cè)量會(huì)遭遇與模態(tài)參考點(diǎn)相同的風(fēng)險(xiǎn)：一個(gè)測(cè)量位置會(huì)導(dǎo)致一階或幾階固有頻率不可見(jiàn)，因?yàn)橐粋€(gè)測(cè)量位置不是這階模態(tài)的節(jié)點(diǎn)，就可能是那階模態(tài)的節(jié)點(diǎn)，這種可能性非常大。因此，強(qiáng)烈建議布置多個(gè)測(cè)量位置，在多個(gè)位置激勵(lì)，在多個(gè)方向上進(jìn)行測(cè)量。

在對(duì)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)進(jìn)行固有頻率測(cè)量時(shí)，測(cè)量方法可以分為以下幾類(lèi)：

1）測(cè)量FRF：如采用傳統(tǒng)的FRF測(cè)量方法，錘擊法與激振器法。由于固有頻率是模態(tài)參數(shù)之一，所以，采用測(cè)量FRF方法測(cè)量固有頻率同樣要求遵循模態(tài)測(cè)試的那些要求。如激勵(lì)響應(yīng)位置要求、激勵(lì)力的大小等，但此時(shí)要求激勵(lì)與響應(yīng)同時(shí)避開(kāi)模態(tài)節(jié)點(diǎn)位置。

2）振動(dòng)臺(tái)測(cè)試：將待測(cè)結(jié)構(gòu)在振動(dòng)臺(tái)上進(jìn)行隨機(jī)激勵(lì)或掃頻激勵(lì)，然后分析響應(yīng)信號(hào)獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率。這時(shí)，要求響應(yīng)位置避開(kāi)關(guān)心的固有頻率對(duì)應(yīng)的模態(tài)的節(jié)點(diǎn)位置。

3）只測(cè)量響應(yīng)：當(dāng)結(jié)構(gòu)處于工作狀態(tài)時(shí)，可以?xún)H測(cè)量結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，然后對(duì)響應(yīng)進(jìn)行頻譜分析。但這時(shí)頻譜圖中的峰值可能有的是結(jié)構(gòu)的固有頻率，也可能有的是強(qiáng)迫響應(yīng)頻率，還有可能是轉(zhuǎn)頻及其倍頻。另外，當(dāng)采用這種方法時(shí)，工作載荷可能不能將所有關(guān)心的固有頻率都激勵(lì)起來(lái)，可能僅激勵(lì)起一些固有頻率，甚至連基頻也激勵(lì)不起來(lái)的情況也存在。因此，采用這種方法時(shí)，要仔細(xì)評(píng)判。

4）變轉(zhuǎn)速激勵(lì)：對(duì)于旋轉(zhuǎn)機(jī)械而言，可以采用變轉(zhuǎn)速方法，如升降速測(cè)量，然后對(duì)響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行瀑布圖分析，在瀑布圖中垂直于頻率軸的峰值區(qū)域即結(jié)構(gòu)的一階固有頻率。但這種方法，通常很難準(zhǔn)確地得出固有頻率的具體數(shù)值，更多對(duì)應(yīng)的是一個(gè)共振帶，如圖7所示。

5）非接觸式測(cè)量：當(dāng)結(jié)構(gòu)是一個(gè)輕質(zhì)結(jié)構(gòu)時(shí)，哪怕是在結(jié)構(gòu)上布置一個(gè)輕質(zhì)的傳感器也會(huì)導(dǎo)致固有頻率移動(dòng)明顯，這時(shí)宜用非接觸式的傳感器進(jìn)行測(cè)量，如電渦流位移傳感器，聲壓傳感器等。我曾經(jīng)采用聲壓傳感器測(cè)量過(guò)PCB板、軸瓦等輕質(zhì)結(jié)構(gòu)的固有頻率。

6）其他方法：如果能按測(cè)量FRF的方法來(lái)測(cè)量是最好的，但很多時(shí)候，我們都沒(méi)有激勵(lì)設(shè)備可用，那么這個(gè)時(shí)候，我們可以采用特殊的激勵(lì)方法，僅測(cè)量結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，對(duì)響應(yīng)進(jìn)行頻譜分析獲得結(jié)構(gòu)的固有頻率。這些特殊的激勵(lì)方法包括：手撥方法（針對(duì)小型輕質(zhì)結(jié)構(gòu)）、階躍方法（使結(jié)構(gòu)存在一個(gè)初位移，然后突然釋放）、生活中的各式錘子激勵(lì)等。

大多數(shù)情況下，我們可以得到結(jié)構(gòu)多階固有頻率，這個(gè)時(shí)候應(yīng)該將固有頻率按頻率值從小到大的順序依次列出測(cè)量到的所有階固有頻率。我個(gè)人認(rèn)為，對(duì)于絕大多數(shù)情況，前幾階（小于等于10階）固有頻率就可滿(mǎn)足測(cè)試要求。當(dāng)然，可能大多數(shù)情況下，固有頻率測(cè)量?jī)H僅是指測(cè)量第1階固有頻率。

對(duì)于FRF曲線(xiàn)，曲線(xiàn)圖中各峰值對(duì)應(yīng)的頻率即為各階固有頻率。但對(duì)于頻譜圖而言，可能會(huì)存在噪聲干擾，這時(shí)，如果發(fā)現(xiàn)頻譜圖中有線(xiàn)狀譜，那么這種情況下，可以認(rèn)為該線(xiàn)狀譜所對(duì)應(yīng)的頻率不是結(jié)構(gòu)的固有頻率，這是因?yàn)榫€(xiàn)狀譜的阻尼為0，這是不可能的，結(jié)構(gòu)總是存在或大或小的阻尼，不可能阻尼為0，因此，這時(shí)，這些線(xiàn)狀譜可以認(rèn)為是干擾或其他類(lèi)型信號(hào)的頻率。

在二維頻譜圖中，并不是所有的峰值對(duì)應(yīng)的都是固有頻率，這是因?yàn)?，有可能是激?lì)頻率或者是它的倍頻，而這些頻率都不是固有頻率。因此，在進(jìn)行固有頻率測(cè)試時(shí)，經(jīng)常通過(guò)測(cè)量頻響函數(shù)的方式來(lái)測(cè)量，因?yàn)轭l率函數(shù)中的峰值對(duì)應(yīng)的都是系統(tǒng)的固有頻率，不會(huì)存在強(qiáng)迫的激勵(lì)頻率。