輪胎力學(xué)特性影響車輛的動(dòng)力學(xué)性能，如操縱穩(wěn)定性、平順性、安全性等，隨著仿真技術(shù)進(jìn)步，車輛運(yùn)動(dòng)模擬可通過仿真手段實(shí)現(xiàn)，更有助于車輛零部件和底盤前期設(shè)計(jì)，但這些需要提供能準(zhǔn)確反映輪胎和路面的力和力矩的參數(shù)。實(shí)際車輛運(yùn)動(dòng)時(shí)輪胎會(huì)產(chǎn)生加減速、轉(zhuǎn)向、外傾等復(fù)雜工況，而輪胎承載的載荷、氣壓等也會(huì)受車輛運(yùn)動(dòng)、承載、環(huán)境等有所變化，顯然通過實(shí)際測(cè)試獲取所有的輪胎運(yùn)行工況和測(cè)試條件的力和力矩信息是不現(xiàn)實(shí)的，這就需要對(duì)輪胎力學(xué)特性建模，通過模型參數(shù)表述復(fù)雜輪胎運(yùn)行工況和多種測(cè)試條件的力學(xué)信息。本文針對(duì)輪胎側(cè)向力和側(cè)偏剛度進(jìn)行幾種簡(jiǎn)單常用的模型對(duì)比分析，這將為車輛動(dòng)力學(xué)建模提供輪胎模型基礎(chǔ)，以用于車輛實(shí)時(shí)控制。

側(cè)偏剛度相關(guān)數(shù)據(jù)獲取

本文利用carsim仿真軟件中所提供的輪胎數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，打開carsim軟件并找到輪胎模型部分，求出每個(gè)車輪的垂向載荷（以參考垂向載荷為例），再找到輪胎側(cè)偏力與側(cè)偏角曲線，如下圖所示。

圖1 CarSim輪胎側(cè)偏剛度初始數(shù)據(jù)

表中第一行代表不同的垂向載荷，第一列代表側(cè)偏角。這里我們選取垂向載荷為1348.41的曲線相關(guān)數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab中，接下來將采用數(shù)值擬合的方法對(duì)輪胎模型進(jìn)行分析。

側(cè)偏剛度的數(shù)值模擬

對(duì)于輪胎力學(xué)模型來說，主要分為三類，分別是經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停碚撃Ｐ鸵约鞍虢?jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ汀＝?jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛷妮喬?shí)測(cè)數(shù)據(jù)得出，與測(cè)試數(shù)據(jù)擬合相關(guān)度較高，但模型很難適用于其它測(cè)試工況或測(cè)試條件；理論模型采用輪胎結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化，采用物理模型參數(shù)描述輪胎變形、運(yùn)動(dòng)，具有相應(yīng)解析表達(dá)式，但公式復(fù)雜，計(jì)算繁瑣，且精度較差；半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ图嫒萘私?jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ秃屠碚撃Ｐ偷膬?yōu)點(diǎn)，在理論研究和測(cè)試數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上開展建模。

其中運(yùn)用廣泛的模型主要有Magic Formula模型，UniTire模型，Dugoff模型以及刷子模型。因此本文分別按這四種模型進(jìn)行了該型輪胎側(cè)偏剛度的數(shù)值擬合。

2.1基于Magic Formula模型的側(cè)偏剛度擬合

應(yīng)用最廣泛的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ彤?dāng)屬Pacejka教授提出的魔術(shù)公式（Magic Formula）。魔術(shù)公式最先在荷蘭的TU Delft大學(xué)和沃爾沃的合作項(xiàng)目中發(fā)展起來，于1987年發(fā)布第一個(gè)版本。之所以稱之為魔術(shù)公式是因?yàn)樵摴娇梢岳靡粋€(gè)表達(dá)式換用不同的參數(shù)來描述輪胎側(cè)向力、回正力矩與側(cè)偏角以及縱向力與縱向滑移率之間的關(guān)系。由于直接由試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合而來，因而模型計(jì)算的準(zhǔn)確性較高。它關(guān)于側(cè)偏力擬合的基本公式為：

以及

輪胎魔術(shù)公式的參數(shù)含義如下圖所示。

圖2 魔術(shù)公式參數(shù)含義原理解釋

其中，

為輪胎側(cè)偏力（N）；Fz為實(shí)際試驗(yàn)載荷（N）；Fz0為額定載荷（N）；Fzn為無量綱垂直載荷；α為側(cè)偏角(°)；D為峰值因子；C為形狀因子，側(cè)偏力擬合取-1.3；BCD即式中的K代表原點(diǎn)處的斜率；B為剛度因子；E為曲率因子；對(duì)于給定的D，C，B和E曲線相對(duì)于原點(diǎn)表現(xiàn)為非對(duì)稱形狀?？紤]到輪胎的初始側(cè)偏剛度，引入水平偏移Sh和垂直偏移Sv使側(cè)偏剛度擬合曲線與試驗(yàn)數(shù)據(jù)相適應(yīng)；a1~a10為擬合回歸參數(shù)。式中各參數(shù)都有其特定的物理意義，并且隨a1 ~a10的變化而變化。

半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ途哂懈呔取⒂?jì)算量小、可實(shí)時(shí)仿真的優(yōu)點(diǎn)。缺點(diǎn)是需要做大量和工況相關(guān)的試驗(yàn)，外推性較差，而且只能給出輪胎的穩(wěn)態(tài)特性。半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ蛯?duì)試驗(yàn)條件和試驗(yàn)步驟都有嚴(yán)格的要求，且很難涉及輪胎的動(dòng)特性。

本文采用lsqcurvefit進(jìn)行編程擬合曲線，擬合結(jié)果為：a1=-599.953，a2=2057.211，a3=100000，a4=-6.015，a5=-2.098，a6=6.763，a7=2.422，a8=0.0045，a9=-0.563，a10=-31.884。獲得的曲線擬合結(jié)果如下圖所示。

圖3 基于魔術(shù)公式的輪胎側(cè)向力擬合結(jié)果

2.2基于UniTire模型的側(cè)偏剛度擬合

UniTire 模型的發(fā)展基于簡(jiǎn)化理論模型的無量綱化表達(dá)，是一種半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，結(jié)合了經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ团c理論模型的優(yōu)點(diǎn)，經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)展完善同樣可以很好的描述穩(wěn)態(tài)條件的輪胎力學(xué)特性，目前已經(jīng)發(fā)展到的2.0版本。它關(guān)于側(cè)偏力擬合的基本公式為：

以及

其中，F(xiàn)α為無量綱切力；SHy為側(cè)向力水平偏移；Ky為側(cè)偏剛度；Sye為有效側(cè)向滑移率；Ey為側(cè)向力曲率因子；φy為無量綱側(cè)向滑移率；μy為側(cè)向摩擦系數(shù)；pHy1，pHy2，pKy1，pKy2，pKy3，pEy1，pEy2，pμy1，pμy2為需擬合的參數(shù)。

數(shù)值擬合使用Matlab的lsqcurvefit工具。由于lsqcurvefit工具只能對(duì)向量進(jìn)行擬合。因此就同一載荷不同側(cè)偏角對(duì)pHy1，pHy2，pKy1，pKy2，pKy3，pEy1，pEy2，pμy1，pμy2進(jìn)行擬合，其擬合值如下：pHy1=-0.0568；pHy2=0.2388；pKy1=-0.0768；pKy2=0.5136；pKy3=0.0182；pEy1=286.5100；pEy2=-98.6322；pμy1=-1.1612；pμy2=1.3760。獲得的曲線擬合結(jié)果如下圖所示。

圖4 基于UniTire的輪胎側(cè)向力擬合結(jié)果

2.3基于Dugoff模型的側(cè)偏剛度擬合

Dugoff模型也屬于半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。模型假設(shè)輪胎接地區(qū)內(nèi)垂直力均勻分布，同時(shí)由于輪胎縱向剛度與側(cè)向剛度差異很大，故模型在橫向和縱向允許有獨(dú)立的輪胎剛度值。與其他輪胎模型相比，Dugoff模型的優(yōu)點(diǎn)在于它是根據(jù)力的平衡推導(dǎo)出的解析模型，縱向力和橫向力與輪胎與路面的摩擦系數(shù)具有直接關(guān)系。其表達(dá)式為：

其中，Cα為輪胎側(cè)向側(cè)偏剛度；Cλ為輪胎縱向側(cè)偏剛度；λ為縱向滑移率；α為輪胎側(cè)偏角；μ為路面附著系數(shù)；Fz為垂向載荷。

數(shù)值擬合同樣使用Matlab的lsqcurvefit工具，對(duì)Cα、Cλ進(jìn)行擬合，其擬合值如下：Cα=136777，Cλ=6018。獲得的曲線擬合結(jié)果如下圖所示。

圖5 基于Dugoff的輪胎側(cè)向力擬合結(jié)果

2.4基于刷子模型的側(cè)偏剛度擬合

早期人們希望從輪胎抽象出簡(jiǎn)單的物理模型來研究輪胎的力學(xué)特性，這就是早期的理論模型。早期的理論模型主要包括刷子模型、梁模型和弦模型等。它們?cè)谝欢ǔ潭壬辖沂玖溯喬チW(xué)特性的形成機(jī)理。刷子模型早于1941年被Fromm提出來，將輪胎簡(jiǎn)化為彈性的胎面單元附著在剛性的胎體上，且胎體集中所有的輪胎質(zhì)量，胎面單元為沒有質(zhì)量的“刷子”。在純側(cè)偏的工況下，刷子模型的側(cè)向力表達(dá)式如下：

其中，Cα、μ分別為輪胎轉(zhuǎn)向剛度及摩擦系數(shù)，兩者都需要通過擬合獲得；Fz為法向載荷；α為輪胎側(cè)偏角；αsat為飽和側(cè)偏角，其表達(dá)式如下所示。

其中，η為衰減系數(shù)，其值隨著縱向力的增加而減小，含義為：地面除開提供給輪胎縱向的力外還能為橫向所提供的力，其能夠描述隨著縱向力Fx的增大而引起橫向力的減小的現(xiàn)象。衰減系數(shù)的定義式如下：

數(shù)值擬合同樣使用Matlab的lsqcurvefit工具，對(duì)Cα、μ、η進(jìn)行擬合，其擬合值如下：Cα=28682.4，μ=0.987，η=1。獲得的曲線擬合結(jié)果如下圖所示。

圖6 基于刷子模型的輪胎側(cè)向力擬合結(jié)果

結(jié)論

上述各輪胎模型擬合的結(jié)果如下所示。在擬合精度方面，在側(cè)偏角較小時(shí)各模型都可以反映側(cè)向力的上升趨勢(shì)，刷子模型、UniTire模型誤差都較小，魔術(shù)公式模型最接近實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，Dugoff模型精度較其他三個(gè)模型而言略差一些。在側(cè)偏角較大時(shí)，只有魔術(shù)公式模型誤差最小，幾乎接近原始曲線，其余三種曲線都無法貼合原始曲線，也無法反應(yīng)出飽和段側(cè)偏剛度下降的趨勢(shì)。

圖7  輪胎側(cè)向力擬合結(jié)果

圖8  輪胎側(cè)偏剛度擬合結(jié)果

在復(fù)雜性方面，根據(jù)公式復(fù)雜度進(jìn)行比較，魔術(shù)公式模型和和UniTire模型最復(fù)雜，刷子模型、Dugoff模型較復(fù)雜；根據(jù)參數(shù)多少進(jìn)行比較，魔術(shù)公式模型和UniTire模型參數(shù)最多，刷子模型參數(shù)較多，Dugoff模型參數(shù)較少；從參數(shù)辨識(shí)難度方面進(jìn)行比較，魔術(shù)公式模型、UniTire模型難度較大，刷子模型和Dugoff模型難度較小。

就該205/55R16型輪胎的側(cè)偏剛度擬合來說，Magic Formula輪胎模型的擬合精度顯然比UniTire輪胎模型高。其主要原因：UniTire輪胎模型是半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?，受輪胎結(jié)構(gòu)的影響?其中某些擬合參數(shù)在計(jì)算中可能會(huì)超出取值定義域。如果不進(jìn)行相關(guān)修正則無法進(jìn)行下一步正常擬合計(jì)算，如果進(jìn)行修正則會(huì)導(dǎo)致擬合精度降低。而UniTire模型與刷子模型類似，其采用的摩擦系數(shù)也隨滑移率變化，因此，兩者的擬合結(jié)果近似，UniTire精度略高一些。

圖8對(duì)四種模型做出的側(cè)偏剛度曲線進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明：在側(cè)偏角較小時(shí)，魔術(shù)公式的側(cè)偏剛度與原數(shù)據(jù)基本一致，而UniTire和刷子模型略偏小，Dugoff模型偏小程度較大。