前 言 

基于仿真的自動(dòng)駕駛可靠性估計(jì)（一）中已經(jīng)介紹，使用定步長泛化、樸素蒙特卡羅等方法生成驗(yàn)證自動(dòng)駕駛系統(tǒng)的仿真場(chǎng)景難以在可以接受的成本內(nèi)精確估計(jì)被測(cè)試系統(tǒng)在指定邏輯場(chǎng)景即測(cè)試空間內(nèi)的失效概率。本文將由此出發(fā)，介紹若干可以用來估計(jì)罕見事件發(fā)生概率的可靠性分析方法。

01. 問題定義

我們將一個(gè)擁有D個(gè)可泛化參數(shù)的邏輯場(chǎng)景等價(jià)于  維參數(shù)空間  ，其中  是一組隨機(jī)變量，其分布函數(shù)由邏輯場(chǎng)景決定，而  的一組具體取值  即為此邏輯場(chǎng)景下的一個(gè)具體場(chǎng)景。

被測(cè)試自動(dòng)駕駛系統(tǒng)或車輛在某一具體場(chǎng)景  中失效，指該系統(tǒng)及車輛的某項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)（kpi）處于失效域中。我們用  表示某項(xiàng)kpi在場(chǎng)景  上的取值，不失一般性地用  表示此項(xiàng)kpi處于失效域中。故被測(cè)試系統(tǒng)或車輛在某一邏輯場(chǎng)景中的失效概率等價(jià)于對(duì)應(yīng)測(cè)試空間中，參數(shù)組合落入失效域的概率，即

其中為此邏輯場(chǎng)景中參數(shù)的聯(lián)合分布。

本文剩余部分將介紹若干精確高效估計(jì)此概率的可靠性分析方法并通過數(shù)值實(shí)現(xiàn)說明其效率。一般我們會(huì)在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中使用這些可靠性分析方法，故我們提前使用Rosenblatt變換將測(cè)試空間轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布空間，之后的討論均基于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布空間。

02.一階可靠性分析方法（FORM）

一種經(jīng)典的可靠性分析算法是將  在失效臨界面（即  的區(qū)域）上的一個(gè)點(diǎn)  利用泰勒展開進(jìn)行線性近似，即  再通過  來估計(jì)  。如下圖所示，右上角的區(qū)域?yàn)槭в?，F(xiàn)ORM用線性展開即黃色線以上的區(qū)域來代替實(shí)際失效區(qū)域。

顯然失效臨界的形狀及  的選取對(duì)近似的結(jié)果有很大的影響，直觀想來我們會(huì)選取失效臨界中最可能的點(diǎn)（實(shí)際是似然函數(shù)最大的點(diǎn)）MPP做為展開的中心  ，即      此時(shí)利用正態(tài)分布的性質(zhì)及  的約束可以證明  其中  為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)的概率分布函數(shù)，  為原點(diǎn)到MPP的距離?？梢钥闯鯢ORM的精度取決于失效臨界與線性邊界的差距，而FORM算法的效率只取決于尋找MPP算法的速度。最早使用Rackwith-Fiessler算法來快速尋找MPP點(diǎn)，然而此算法并不能保證收斂，故在Rackwith-Fiessler算法不收斂時(shí)可以使用更為復(fù)雜的優(yōu)化算法來實(shí)現(xiàn)，例如NLPQL。

03. 方向采樣算法

將測(cè)試空間考慮成一個(gè)多維球體，若在每個(gè)方向上存在最多一個(gè)失效臨界時(shí)，可以通過方向采樣算法估計(jì)失效概率  。其基本原理是

1. 在半徑為  的層球面進(jìn)行均勻采樣，并記錄其中的失效場(chǎng)景；

2. 對(duì)失效場(chǎng)景所在的方向插值求解此方向的失效臨界場(chǎng)景；

3. 注意測(cè)試空間為  維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布空間，故其中任意一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方服從自由度為的卡方分布（  ），故可對(duì)失效概率估計(jì)如下

其中  是總采樣數(shù)，  是失效方向數(shù)，  是第  個(gè)失效方向的臨界場(chǎng)景與原點(diǎn)間的距離。

通過上面的介紹可以看出，方向采樣算法無法觀察到距離原點(diǎn)超過R的失效場(chǎng)景。在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布空間中無法觀測(cè)的失效場(chǎng)景概率占比小于等于  ，故往往  取比較大的值例如  至  ，如此漏掉的失效場(chǎng)景占比僅在  至  ，是完全可以接受的。影響此算法精度的另一個(gè)因素是在外層球面采樣的均勻程度，我們使用球面拉丁超立方采樣代替?zhèn)鹘y(tǒng)的方法獲取高維球面上的超均勻樣本，用相同數(shù)量的樣本實(shí)現(xiàn)對(duì)球面更好的覆蓋。

三維球面的均勻采樣，左側(cè)為傳統(tǒng)方法，右側(cè)為球面拉丁超立方采樣，紅色為尋找到的危險(xiǎn)場(chǎng)景

04. 重要性采樣算法

重要性采樣算法直接從蒙特卡羅方法失效的原因出發(fā)，使用提議分布  來代替真實(shí)分布  以期采集到更多的失效場(chǎng)景，并根據(jù)下面的方法估計(jì)失效概率  其中  是根據(jù)提議分布  的采樣數(shù)，  是其中的第  個(gè)樣本觀察值。可以簡單的看出重要性采樣算法是失效概率的無偏估計(jì)，但算法的精度（相對(duì)誤差）主要取決于提議分布的選取，在最優(yōu)提議分布，  ，下  的相對(duì)誤差是0！但是這樣的提議分布顯然是無法獲取的，因?yàn)榉帜?nbsp; 本身就是我們要估計(jì)的量，所以實(shí)際應(yīng)用中會(huì)采用各種方法來逼近  。我們選取混合高斯分布作為提議分布，使用交叉熵優(yōu)化的方法基于每輪采樣的結(jié)果自適應(yīng)調(diào)整提議分布中的參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)全部主導(dǎo)失效域的覆蓋及失效概率的估計(jì)。下面的圖說明了使用重要性采樣的方法，自適應(yīng)調(diào)整提議分布尋找失效樣本和失效臨界場(chǎng)景的過程。

重要性采樣算法。其中藍(lán)色點(diǎn)為安全場(chǎng)景，黃色點(diǎn)為本輪采樣中較危險(xiǎn)場(chǎng)景，紅色點(diǎn)為失效場(chǎng)景，紫色點(diǎn)為失效臨界場(chǎng)景。其中左上和右小角的是小邊界為線性，左下和右上角的失效邊界為非線性。

05. 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面將用2個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，證明不同可靠性分析算法的有效性。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)一：

可靠性分析方法	FORM
測(cè)試空間
kpi函數(shù)
理論失敗概率

由于kpi函數(shù)的連續(xù)性及凸凹性較好，使用Rackwith-Fiessler算法快速迭代尋找MPP，得到如下實(shí)驗(yàn)結(jié)果

失敗概率估計(jì)
相對(duì)偏差	16%
相對(duì)誤差	0，F(xiàn)ORM方法不使用隨機(jī)采樣
kpi函數(shù)調(diào)用次數(shù)	5次，5次迭代尋找MPP

可以看當(dāng)線性展開可以比較好的逼近失效臨界是，F(xiàn)ORM方法可以很好的估計(jì)失效概率。此例中雖然無法在全局使用線性展開逼近失效臨界，但在MPP點(diǎn)附近逼近效果較好，即在對(duì)失效概率貢獻(xiàn)最大的區(qū)域逼近效果較好，故可以得到較好的估計(jì)效果。

數(shù)值實(shí)驗(yàn)二

實(shí)驗(yàn)二中我們使用  測(cè)試空間中的Katsuki函數(shù)作為kpi函數(shù)，即          Katsuki函數(shù)通過是具備了不同形狀的失效臨界，其理論失效概率為  。使用方向采樣及重要性采樣對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，下面將展示兩種算法的結(jié)果

此實(shí)驗(yàn)中方向采樣算法的球面采樣數(shù)為100，臨界面尋找的最大迭代次數(shù)為10；重要性采樣每輪采樣數(shù)為500。因?yàn)闇y(cè)試空間維度較低，方向采樣有著非常優(yōu)秀的表現(xiàn)，同時(shí)兩者對(duì)比蒙特卡羅方法都體現(xiàn)出了超高的效率。需要注意的是，雖然重要性采樣使用的kpi函數(shù)平均次數(shù)更多，但在并行仿真下實(shí)際只有4輪仿真；而kpi調(diào)用次數(shù)較少的方向采樣因?yàn)槿狈Σ⑿蟹抡嬷文芰Γ臅r(shí)反而更長。

最后對(duì)不同的可靠性分析算法能夠適應(yīng)的情景做出分析，需要注意的是蒙特卡羅方法或拉丁超立方/sobol方法雖然不受測(cè)試空間的限制，但其效率僅能應(yīng)對(duì)概率在  及更大的情況。