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基于線性變參數(shù)系統(tǒng)的四輪轉(zhuǎn)向自主地面車輛路徑跟蹤控制及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

2021-09-12 10:45:58·  來源：同濟(jì)智能汽車研究所  
　
根據(jù)哈密頓函數(shù)，控制方程可以推導(dǎo)為
 
 
此外，控制向量U可以在變換后計(jì)算出來
 
 
另外，歐拉方程可以推導(dǎo)為
 
 
拉格朗日乘子向量定義為
在對時(shí)間求導(dǎo)數(shù)后，得出
 
由于在穩(wěn)態(tài)下可以視為零，所以P(t)是以下黎卡提方程的解
 
 
在計(jì)算出P(t)之后，將等式(31)代入等式(29)得出
 
 
在LQR控制器設(shè)計(jì)中，Q和R分別給定為Q=diag[1000,10,300,3]，R=diag[1,2]。
B.閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析
至于LQR反饋控制器方程(34)，它不能處理外部干擾。這個(gè)問題將在第4.3節(jié)中解決。首先，用LQR控制器對閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。如果外部干擾暫時(shí)被忽略，那么
 
 
將等式(34)代入等式(35)得到閉環(huán)系統(tǒng)
 
 
為了分析閉環(huán)系統(tǒng)方程(36)的穩(wěn)定性，我們首先引入以下引理。
引理1:如果線性時(shí)不變系統(tǒng)方程(35)中存在擾動(dòng)D(t)，即
，其中D(t)獨(dú)立于控制向量U，則擾動(dòng)D(t)不會(huì)改變系統(tǒng)方程(35)的可控性。
由于本文中的擾動(dòng)是由獨(dú)立于控制向量U的和組成的，因此可以得出結(jié)論，擾動(dòng)不會(huì)改變系統(tǒng)方程(35)的可控性。
此外，對于穩(wěn)定性分析，提出了以下引理。
引理2: 對于線性時(shí)不變系統(tǒng)方程(35)，它具有用于狀態(tài)反饋LQR控制器設(shè)計(jì)的性能指標(biāo)方程(26)。如果{A,B}是可控的，且{A,F}是可觀測的，其中FF=Q，則閉環(huán)系統(tǒng)方程(36)是漸近穩(wěn)定的。XcPXc是一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，其中P是一個(gè)對稱正定矩陣，它是黎卡提方程(33)的唯一解。
定義線性二次函數(shù)
 
 
其中，當(dāng)且僅當(dāng)。由于。因此，等式(37)是一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。很顯然滿足下式：
 
 
在對時(shí)間求導(dǎo)后的等式如下：
 
 
將方程(33)和(36)代入方程(39)得出：
 
 
由于Q是一個(gè)半正定矩陣，而R是一個(gè)正定矩陣，。因此
 
 
如果。根據(jù)方程(40)，可以得到：
由于，等式(44)可以寫為：
由于，可以推導(dǎo)出。因此，該系統(tǒng)方程的零輸入響應(yīng)可以表示為：
 
將等式(45)帶入等式(42)得到：
等式(46)表明：
它和是可觀察的條件是相矛盾的。因此，假設(shè)是錯(cuò)誤的。
最后，可以得出結(jié)論，閉環(huán)系統(tǒng)方程(36)可以看作是全局漸近穩(wěn)定的。這證明了引理2。
C.LQR控制器與前饋控制相結(jié)合
從方程(34)可以看出，控制向量U僅與狀態(tài)向量Xc相關(guān)。它不能處理外部干擾。是可以得到的，并由和組成。因此，采用前饋控制來減小外部干擾引起的路徑跟蹤誤差。
根據(jù)上述分析，路徑跟蹤控制器可以表示為前饋控制器和LQR反饋控制器的和。
 
 
其中，
需要求解，并根據(jù)方程(34)，LQR反饋控制器可以表示為：
 
 
將方程(49)帶入方程(14)得到：
 
 
假設(shè)狀態(tài)向量的初始值為零，經(jīng)拉普拉斯變換后，式(50)可得改變成：
 
 
其中表示對變量向量進(jìn)行拉普拉斯變換。
如上所述，假設(shè)是常數(shù)。可以得到：
 
然后：
 
 
假設(shè)前饋控制器是恒定的穩(wěn)態(tài)，可以得到：
 
 
將方程(53)和(54)代入方程(51)得到：
 
 
根據(jù)拉普拉斯變換的終值定理，系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)誤差可以表示為：
 
 
如果，可以得到：
此外，還有：
最終，前饋控制器可以算出并表示為：
 
 
為了簡化軌跡跟蹤控制器的設(shè)計(jì)過程，在控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性分析中使用了模型方程(17)。事實(shí)上LPV模型用于最終控制器設(shè)計(jì)?？紤]到以下由方程(22)描述的LPV閉環(huán)控制系統(tǒng)具有八個(gè)頂點(diǎn)，LPV-LQR控制器應(yīng)該表示為八個(gè)慣性控制器的加權(quán)和。等式如下：
 
 
其中，是第j個(gè)頂點(diǎn)模型的第j個(gè)控制器，可根據(jù)等式(49)和(59)計(jì)算得出。
 
5 仿真分析
為了評估所設(shè)計(jì)控制器的路徑跟蹤性能，通過CarSim-Simulink平臺(tái)使用高度準(zhǔn)確的整車模型進(jìn)行聯(lián)合仿真。4WS AGV路徑跟蹤仿真框圖如圖5所示。仿真中4WS AGV的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。在車輛測試，雙車道變換（DLC）是最常見和最典型的動(dòng)作之一。它可以很好地評估車輛的橫向動(dòng)力性能。對于自動(dòng)駕駛汽車，DLC 機(jī)動(dòng)也是一個(gè)至關(guān)重要的動(dòng)作。該測試不僅可以驗(yàn)證控制器的路徑跟蹤性能，還可以評估車輛的操縱穩(wěn)定性。因此，選擇DLC作為條件。
 
 
圖5 4WS AGV仿真框圖
A.不同的路面摩擦系數(shù)
在本仿真案例中，4WS AGV以不同的路面摩擦系數(shù)進(jìn)行DLC機(jī)動(dòng)，旨在驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的路徑跟蹤能力。此外，它還可以評估該路徑跟蹤控制器對不同路況的魯棒性。4WS AGV的縱向速度設(shè)定為15m/s，道路摩擦系數(shù)設(shè)定為0.25，0.5和0.85來模擬不同路面條件，即結(jié)冰路面、濕路面和干路面。
 
 
圖6 不同摩擦系數(shù)路面下的路徑跟蹤結(jié)果
表2 不同摩擦系數(shù)路面下的路徑跟蹤誤差
 
 
 
 
圖7 不同摩擦系數(shù)路面下的橫向位置誤差
 
 
圖8 不同摩擦系數(shù)路面下的偏航角誤差
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