AdaBoost算法也是一種集成學(xué)習(xí)算法，用于二分類問題，是Boosting算法的一種實現(xiàn)。它用多個弱分類器的線性組合來預(yù)測，訓(xùn)練時重點關(guān)注錯分的樣本，準(zhǔn)確率高的弱分類器權(quán)重大。AdaBoost算法的全稱是自適應(yīng)，它用弱分類器的線性組合來構(gòu)造強(qiáng)分類器。弱分類器的性能不用太好，僅比隨機(jī)猜測強(qiáng)，依靠它們可以構(gòu)造出一個非常準(zhǔn)確的強(qiáng)分類器。強(qiáng)分類器的計算公式為：

其中x是輸入向量，F(xiàn)(x)是強(qiáng)分類器，ft(x)是弱分類器，at是弱分類器的權(quán)重，T為弱分類器的數(shù)量，弱分類器的輸出值為+1或-1，分別對應(yīng)正樣本和負(fù)樣本。分類時的判定規(guī)則為：

強(qiáng)分類器的輸出值也為+1或-1，同樣對應(yīng)于正樣本和負(fù)樣本。
訓(xùn)練時，依次訓(xùn)練每一個若分類器，并得到它們的權(quán)重值。訓(xùn)練樣本帶有權(quán)重值，初始時所有樣本的權(quán)重相等，在訓(xùn)練過程中，被前面的弱分類器錯分的樣本會加大權(quán)重，反之會減小權(quán)重，這樣接下來的弱分類器會更加關(guān)注這些難分的樣本。弱分類器的權(quán)重值根據(jù)它的準(zhǔn)確率構(gòu)造，精度越高的弱分類器權(quán)重越大。
給定l個訓(xùn)練樣本(xi,yi )，其中xi是特征向量，yi為類別標(biāo)簽，其值為+1或-1。訓(xùn)練算法的流程為：

根據(jù)計算公式，錯誤率低的弱分類器權(quán)重大，它是準(zhǔn)確率的增函數(shù)。AdaBoost算法在訓(xùn)練樣本集上的錯誤率會隨著弱分類器數(shù)量的增加而指數(shù)級降低。它能有效的降低模型的偏差。
AdaBoost算法從廣義加法模型導(dǎo)出，訓(xùn)練時求解的是指數(shù)損失函數(shù)的極小值：

求解時采用了分階段優(yōu)化，先得到弱分類器，然后確定弱分類器的權(quán)重值，這就是弱分類器，弱分類器權(quán)重的來歷。除了離散型AdaBoost之外，從廣義加法模型還可以導(dǎo)出其他幾種AdaBoost算法，分別是實數(shù)型AdaBoost，Gentle型AdaBoost，Logit型AdaBoost，它們使用了不同的損失函數(shù)和最優(yōu)化算法。
標(biāo)準(zhǔn)的AdaBoost算法是一種判別模型，只能支持二分類問題。它的改進(jìn)型可以處理多分類問題。 

主成分分析

主成分分析是一種數(shù)據(jù)降維和去除相關(guān)性的方法，它通過線性變換將向量投影到低維空間。對向量進(jìn)行投影就是對向量左乘一個矩陣，得到結(jié)果向量：y = Wx結(jié)果向量的維數(shù)小于原始向量的維數(shù)。降維要確保的是在低維空間中的投影能很好的近似表達(dá)原始向量，即重構(gòu)誤差最小化：

其中e為投影后空間的基向量，是標(biāo)準(zhǔn)正交基；a為重構(gòu)系數(shù)，也是投影到低維空間后的坐標(biāo)。如果定義如下的散布矩陣：

其中m和

為所有樣本的均值向量。則上面的重構(gòu)誤差最小化等價于求解如下問題：

通過拉格朗日乘數(shù)法可以證明，使得該函數(shù)取最小值的ej為散度矩陣最大的d'個特征值對應(yīng)的單位長度特征向量。矩陣W的列ej是我們要求解的基向量，由它們構(gòu)成投影矩陣。計算時，先計算散布矩陣（或者協(xié)方差矩陣），再對該進(jìn)行進(jìn)行特征值分解，找到最大的一部分特征值和對應(yīng)的特征向量，構(gòu)成投影矩陣?？梢宰C明，協(xié)方差矩陣或散布矩陣是實對稱半正定矩陣，因此所有特征值非負(fù)。進(jìn)行降維時，先將輸入向量減掉均值向量，然后左乘投影矩陣，即可得到投影后的向量。
主成分分析一種無監(jiān)督學(xué)習(xí)算法，也是一種線性方法。 

線性判別分析

線性判別分析向最大化類間差異、最小化類內(nèi)差異的方向線性投影。其基本思想是通過線性投影來最小化同類樣本間的差異，最大化不同類樣本間的差異。具體做法是尋找一個向低維空間的投影矩陣W，樣本的特征向量x經(jīng)過投影之后得到的新向量：y = Wx同一類樣投影后的結(jié)果向量差異盡可能小，不同類的樣本差異盡可能大。簡單的說，就是經(jīng)過這個投影之后同一類的樣本進(jìn)來聚集在一起，不同類的樣本盡可能離得遠(yuǎn)。這種最大化類間差異，最小化類內(nèi)差異的做法，在機(jī)器學(xué)習(xí)的很多地方都有使用。
類內(nèi)散布矩陣定義為：

它衡量的內(nèi)類樣本的發(fā)散程度。其中mi為每個類的均值向量，m為所有樣本的均值向量。類間散布矩陣定義為：

它衡量的了各類樣本之間的差異。訓(xùn)練時的優(yōu)化目標(biāo)是類間差異與類內(nèi)差異的比值：

上面的問題帶有冗余，如果w是最優(yōu)解，將其乘以一個不為0的系數(shù)之后還是最優(yōu)解。為了消掉冗余，加上如下約束：

然后使用拉格朗日乘數(shù)法，最后歸結(jié)于求解矩陣的特征值與特征向量：

LDA是有監(jiān)督的學(xué)習(xí)算法，在計算過程中利用了樣本標(biāo)簽值，是線性模型。LDA也不能直接用于分類和回歸問題，要對降維后的向量進(jìn)行分類還需要借助其他算法。 

kNN算法

kNN算法將樣本分到離它最相似的樣本所屬的類。算法本質(zhì)上使用了模板匹配的思想。要確定一個樣本的類別，可以計算它與所有訓(xùn)練樣本的距離，然后找出和該樣本最接近的k個樣本，統(tǒng)計這些樣本的類別進(jìn)行投票，票數(shù)最多的那個類就是分類結(jié)果。
由于需要計算樣本間的距離，因此需要依賴距離定義，常用的有歐氏距離，Mahalanobis距離，Bhattacharyya距離。另外，還可以通過學(xué)習(xí)得到距離函數(shù)，這就是距離度量學(xué)習(xí)。
kNN算法是一種判別模型，即支持分類問題，也支持回歸問題，是一種非線性模型。它天然的支持多分類問題。kNN算法沒有訓(xùn)練過程，是一種基于實例的算法。 

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種仿生的方法，參考了動物的神經(jīng)元結(jié)構(gòu)。從本質(zhì)上看，它是一個多層復(fù)合函數(shù)。對于多層前饋型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即權(quán)連接網(wǎng)絡(luò)，每一層實現(xiàn)的變換為：

其中W為權(quán)重矩陣，b為偏置向量，f為激活函數(shù)。正向傳播時反復(fù)用上上對每一層的輸出值進(jìn)行計算，得到最終的輸出。使用激活函數(shù)是為了保證非線性，對于激活函數(shù)更深入全面的介紹請參考SIGAI之前的公眾號文章“理解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)”，“神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)總結(jié)”。萬能逼近定理保證了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以比較閉區(qū)間上任意一個連續(xù)函數(shù)。
權(quán)重和偏置通過訓(xùn)練得到，采用的是反向傳播算法。反向傳播算法從復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t導(dǎo)出，用于計算損失函數(shù)對權(quán)重，偏置的梯度值。算法從最外層的導(dǎo)數(shù)值算起，依次遞推的計算更內(nèi)層的導(dǎo)數(shù)值，這對應(yīng)于從神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出層算起，反向計算每個隱含層參數(shù)的導(dǎo)數(shù)值。其核心是誤差項的定義，定義誤差項為損失函數(shù)對臨時變量u的梯度：

其中，nl是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的層數(shù)。最后一個層的誤差項可以直接求出，其他層的誤差項根據(jù)上面的遞推公式進(jìn)行計算。根據(jù)誤差項，可以計算出損失函數(shù)對每一層權(quán)重矩陣的梯度值：

以及對偏置向量的梯度值：

然后用梯度下降法對它們的值進(jìn)行更新。參數(shù)初始化一般采用隨機(jī)數(shù)，而不是簡單的初始化為0。為了加快收斂速度，還可以使用動量項，它積累了之前的梯度信息。
神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時的損失函數(shù)不是凸函數(shù)，因此有陷入局部極值，鞍點的風(fēng)險。另外，隨著層數(shù)的增加，會導(dǎo)致梯度消失問題，這是因為每次計算誤差項時都需要乘以激活函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值，如果其絕對值小于1，多次連乘之后導(dǎo)致誤差項趨向于0，從而使得計算出來的參數(shù)梯度值接近于0，參數(shù)無法有效的更新。
如果對反傳播算法的推導(dǎo)細(xì)節(jié)感興趣，可以閱讀SIGAI之前的公眾號文章“反向傳播算法推導(dǎo)-全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練算法可以總結(jié)為：復(fù)合函數(shù)求導(dǎo) + 梯度下降法
標(biāo)準(zhǔn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一種有監(jiān)督的學(xué)習(xí)算法，它是一種非線性模型，它既可以用于分類問題，也可以用于回歸問題，并且支持多分類問題。